構(gòu)造法證明不等式例析(編輯修改稿)
2025-07-21 16:44 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 內(nèi)在聯(lián)系的輔助對(duì)偶式或構(gòu)造對(duì)偶不等式，然后經(jīng)過(guò)運(yùn)算，促使問(wèn)題的轉(zhuǎn)化與解決．例5 設(shè)x＞0，求證：＋－≤2－．證明：設(shè)A =＋－，構(gòu)造A的輔助對(duì)偶式：B =＋＋，則有AB= 1且B≥2＋，從而1 =AB≥(2＋)A，因此由A＞0即可得A≤2－，即不等式＋－≤2－成立．六、構(gòu)造參數(shù)不等式證明不等式通過(guò)巧妙地引入?yún)⒆兞浚褑?wèn)題轉(zhuǎn)化成重要不等式結(jié)構(gòu)，把證明不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化成對(duì)參數(shù)的討論，使參數(shù)在不等式證明中起到橋梁作用．例6 已知a，a，…，a均為實(shí)數(shù)，且a+ a+ … + a= A (A＞0)，a+ a+ … + a= (nN，n≥2) ，求證：0≤a≤．( k =1，2，…，n)．因a+ a+ … + a－A = 0，引入待定參數(shù)t，則－a= a+ … + a= a+ … + a+ t (a+ a+ … + a－A) = (a+) + (a+)+ … + (a+)+ t a－t A－t≥t a－t A－t． ①又t a－t A－t=－[t－( a－A)]+( a－A)≤( a－A)．而－a與t無(wú)關(guān)，即①式對(duì)t∈R恒成立，所以－a≥( a－A)．整理得：na－2aA≤0，解得0≤a≤．同理可求得0≤a≤． ( k =1，2，…，n) 七、構(gòu)造向量法證明不等式根據(jù)已知條件與欲證不等式結(jié)構(gòu)，將其轉(zhuǎn)化為向量形式，利用向量數(shù)量積及不等式關(guān)系≤
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