函數解答題-構造函數證明不等式(編輯修改稿)
2024-10-27 14:53 本頁面
【文章內容簡介】 2+(149++的最小值。abc2bxb)2+(3cxc)21492++)x12x+1,(Qa+b+c=1)abc111由f(x)179。0（當且僅當a=,b=,c=時取等號），632149得⊿≤0,即⊿＝1444（++）≤0abc111149∴當a=,b=,c=時，(++)min=36 632abc構造函數證明不等式利用函數的單調性+例巳知a、b、c∈R，且a b+mb[分析]本題可以用比較法、分析法等多種方法證明。若采用函數思想，構造出與所證不等式密切相關的函數，利用函數的單調性來比較函數值而證之，思路則更為清新。a+x+，其中x∈R，0b+xb+x證明：令 f（x）= ∵ba0 ba+ 在R上為減函數 b+xba+從而f（x）= 在R上為增函數b+x∴y= ∵m0 ∴f（m） f（0）∴a+ma b+mb例求證：a+b1+a+b≤a+b1+a+b（a、b∈R）[分析]本題若直接運用比較法或放縮法，很難尋其線索。若考慮構造函數，運用函數的單調性證明，問題將迎刃而解。[證明]令 f（x）=x，可證得f（x）在[0，∞)上是增函數（證略）1+x 而 0得 f（∣a+b∣）≤ f（∣a∣+∣b∣）即： a+b1+a+b≤a+b1+a+b[說明]要證明函數f(x)是增函數還是減函數，若用定義來證明，則證明過程是用比較法證明f(x1)與f(x2)的大小關系；反過來，證明不等式又可以利用函數的單調性。利用函數的值域例若x為任意實數，求證：—x11≤≤ 221+x2[分析]本題可以直接使用分析法或比較法證明，但過程較繁。聯想到函數的值域，于是構造函數f（x）= x11，從而只需證明f(x)的值域為[—，]即可。1+x222x2證明：設 y=，則yxx+y=0 21+x ∵x為任意實數 ∴上式中Δ≥0，即（1）4y≥0 1 411得：—≤y≤22x11 ∴—≤≤21+x22 ∴y≤2[說明]應用判別式說明不等式，應特別注意函數的定義域。另證：類比萬能公式中的正弦公式構造三角函數更簡單。例求證：必存在常數a，使得Lg（xy）≤ +lg2y對大于1的任意x與y恒成立。[分析]此例即證a的存在性，可先分離參數，視參數為變元的函數，然后根據變元函數的值域來求解a，從而說明常數a的存在性。若s≥f(t)恒成立，則s的最小值為f(t)的最大值；若 s≤f(t)恒成立，則s的最大值為f(t)的最小值。22證明：∵lgx+lgy 0(x1,y1)∴原不等式可變形為：Lga≥lgx+lgylgx+lgy222（lgx+lgy）2lgxlgy 令 f(x)= == 1+222222lgx+lgylgx+lgylgx+lgylgx+lgy 而 lgx0,lgy0, ∴l(xiāng)gx+lgy ≥ 2lgxlgy 0 ∴2lgxlgy≤1 22lgx+lgy ∴ 1從而要使原不等式對于大于1的任意x與y恒成立，只需Lga≥2即 a≥102即可。故必存在常數a，使原不等式對大于1的任意x、y恒成立。運用函數的奇偶性xx證明不等式：xxx2xx ∵f（x）== x+ x122212xxx[1(12)]+ 12x2xx =x+= f(x)x122 = ∴f(x)的圖象關于y軸對稱x ∵當x0時，12第三篇：構造函數證明不等式構造函數證明不等式構造函數證明:e的(4n4)/6n+3)次方不等式兩邊取自然對數(嚴格遞增)有:ln(2^2/2^21)+ln(3^2/3^21)+...+ln(n^2/n^21)(4n4)/(6n+3)不等式左邊=2ln2ln1ln3+2ln3ln2ln4+...+2lnnln(n1)ln(n+1)=ln2ln1+lnnln(n+1)=ln構造函數f(x)=ln(4x4)/(6x+3)對f(x)求導,有:f39。(x)=+^2當x2時,有f39。(x)0有f(x)在x2時嚴格遞增從而有f(n)=f(2)=ln(4/3)4/15=0即有l(wèi)n(4n4)/(6n+3)原不等式等證【解】：∏{n^2/(n^21)}e^((4n4)/(6n+3))∵n^2/(n^21)=n^2/(n+1)(n1)∴∏{n^2/(n^21)}=2n/(n+1)原式可化簡為：2n/(n+1)e^((4n4)/6n+3))構建函數：F(n)=2n/(n+1)e^((4n4)/(6n+3))其一階導數F’(n)={24e^((4n4)/(6n+3))}/(n+1)^2∵e^((4n4)/(6n+3))∴F’(n)0而F=4/(2+1)e^((84)/(12+3))=4/3e^(4/15)0所以F(n)0即：2n/(n+1)e^((4n4)/6n+3))故得證。一、結合勘根定理，利用判別式“△”的特點構造函數證明不等式例1若a,b,c∈R，且a≠0，又4a+6b+c0，a3b+(x),設f(x)=ax2+3bx+c(a≠0)，由f(2)=4a+6b+c0，f(1)=a3b+cf(x)+3bx+c=0可知△=(3b)24ac0,所以可得：9b2，抓住問題本質，通過構造二次函數,將所要證明的結論轉化成判別式“△”的問題,再結合勘根定理和二次函數知識，、結合構造函數的單調性證明不等式例2(2005年人教A版《選修45不等式選講》例題改編)已知a,b,c是實數，求證：|a+b+c|1+|a+b+c|≤|a|1+|a|+|b|1+|b|+|c|1+|c|.證明構造函數f(x)，設f(x)=x1+x(x≥0).由于
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