構造函數(shù)證明不等式的八種方法[最終版](編輯修改稿)
2025-10-31 14:50 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 3（a∈R）．（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若函數(shù)y=f（x）的圖象在點（2，f（2））處的切線的傾斜角為45176。，對于任意的t∈[1，2]，函數(shù)范圍；（Ⅲ）求證：．在區(qū)間（t，3）上總不是單調(diào)函數(shù)，求m的取值（x）=（1+x）﹣2ln（1+x）（1）若關于x的不等式f（x）﹣m≥0在[0，e﹣1]有實數(shù)解，求實數(shù)m的取值范圍．（2）證明不等式：10．已知函數(shù)，其中a為實數(shù)．（n∈N）．*（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)f（x）≥0對定義域內(nèi)的任意x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；（3）證明：對任意的正整數(shù)m，n，不等式恒成立．11．設函數(shù)f（x）=lnx﹣﹣bx（Ⅰ）當a=b=時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）令F（x）=f（x）+＜x≤3），其圖象上任意一點P（x0，y0）處切線的斜率k≤恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；（x）=x+2ax﹣alnx﹣1（1）a≠0時，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（2）若不等式2xlnx≤xf′（x）+a+1恒成立，其中f′（x）f（x）是f（x）的導數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．(x)=ln221+－x(Ⅰ)求曲線y=f(x)在點（0，f(0)）處的切線方程；x3(Ⅱ)求證：當x∈(0,1)時，f(x)≥2(x+)。3x3(Ⅲ)設實數(shù)k使得f(x)k(x+)對x∈(0,1)恒成立，bex+(x)=aelnx+,曲線y=f(x)在點（1，f(1)）處切線方程為y=e(x1)+(Ⅰ)求a,b；(Ⅱ)證明：f(x)x－(x)=2x.(Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性(Ⅱ)設g(x)=f(2x)4bf(x),當x0時，g(x)0,求b的最大值；(x)=ln(x+1)(x)=xcosxsinx,x∈[0,ax(a1)討論f(x)的單調(diào)性 x+aπ]，求證：f(x)≤0； 21已知函數(shù),，其中R.（1）討論的單調(diào)性；（2）若在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求正實數(shù)的取值范圍；（3）設函數(shù)總有 , 當成立，求實數(shù)時，若存在，對于任意的，的取值范圍．1已知函數(shù).（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）設，若對任意，不等式恒成立，、設函數(shù)表示的導函數(shù)，（其中）（1）求成立，求實數(shù)的單調(diào)區(qū)間（2）若對任意的的取值范圍，都有2已知函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅱ）若,當求實數(shù) 的取值范圍． ,，其中R．（Ⅰ）討論在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求正實數(shù)時，若，的取值范圍；（Ⅲ）設函數(shù)，總有成立，2已知函數(shù).(Ⅰ)若，求曲線，若對任意在處切線的斜率；(Ⅱ)求，均存在的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）設，使得，求的取值范圍。第三篇：構造函數(shù)法證明不等式的八種方法構造函數(shù)法證明不等式的八種方法利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值和最值，再由單調(diào)性來證明不等式是函數(shù)、導數(shù)、不等式綜合中的一個難點，也是近幾年高考的熱點。解題技巧是構造輔助函數(shù)，把不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或求最值，從而證得不等式，而如何移項法構造函數(shù)【例2】已知函數(shù)f(x)=ln(x+1)x，求證：當x1時，恒有11163。ln(x+1)163。x x+111，從其導數(shù)入手即x+1分析：本題是雙邊不等式，其右邊直接從已知函數(shù)證明，左邊構造函數(shù)g(x)=ln(x+1)+可證明。根據(jù)不等式的結(jié)構特征構造一個可導函數(shù)是用導數(shù)證明不等式的關鍵。從條件特征入手構造函數(shù)證明【例1】若函數(shù)y=f(x)在R上可導且滿足不等式xf162。(x)－f(x)恒成立，且常數(shù)a，b滿足ab，求證：．a(chǎn)f(a)bf(b)【變式1】若函數(shù)y=f(x)在R上可導且滿足不等式f(x)f162。(x)，且y=f(x)(x)(x+2015)2f(x+2015)4f(2)、作差法構造函數(shù)證明 【例3】已知函數(shù)f(x)=12x2+：在區(qū)間(1,+165。)上，函數(shù)f(x)的圖象在函數(shù)g(x)=23x3的圖象的下方； 分析：函數(shù)f(x)圖象在函數(shù)g(x)的圖象的下方219。不等式f(x)g(x)問題，設F(x)=g(x)f(x)換元法構造函數(shù)證明【例4】（2007年，山東卷）證明：對任意的正整數(shù)n，不等式ln(1n+1)11n2n3 ：本題是山東卷的對數(shù)法構造函數(shù)（選用于冪指數(shù)函數(shù)不等式）【例5】證明當x0時,(1+x)1+1xe1+x2構造形似函數(shù)【例6】證明當bae,證明abba構造二階導數(shù)函數(shù)證明導數(shù)的單調(diào)性 【例7】已知函數(shù)f(x)=aex12x2(1)若f(x)在R上為增函數(shù),求a的取值范圍。(2)若a=1,求證:x＞0時,f(x)1+x主元法構
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