對構造函數(shù)法證明不等式的再研究(編輯修改稿)
2024-10-26 17:38 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 +x2（x0）．【解析】f162。(x)=12lnx2a2lnx+1，∴f162。(x)0，即f(x)，當x1，a179。0時，不難證明xxx 在(0,+165。)內(nèi)單調遞增，故當x1時，f(x)f(1)=0，∴當x1時，恒有xln2x2alnx+1．【解析】設F(x)=g(x)f(x)=12x+2ax3a2lnxb，則23a2(xa)(x+3a)（x0），∵a0，∴當x=a時，F(xiàn)39。(x)=0，F(xiàn)39。(x)=x+2a=xx故F(x)在(0 , a)上為減函數(shù)，在(a , +165。)上為增函數(shù)，于是函數(shù)F(x)在(0 , +165。)上的最小值是F(a)=f(a)g(a)=0，故當x0時，有f(x)g(x)179。0，即f(x)179。g(x)．【解析】函數(shù)f(x)的定義域為(1 , +165。)，f39。(x)=11x=，∴當1x01+x(1+x)2(1+x)2時，f39。(x)0，即f(x)在x206。(1 , 0)上為減函數(shù)；當x0時，f39。(x)0，即f(x)在x206。(0 , +165。)上為增函數(shù)；因此在x=0時，f(x)取得極小值f(0)=0，而且是最小值，于是f(x)179。f(0)=0，從而ln(1+x)179。1xa1b=1，于是，即ln(1+x)179。1，令1+x=0，則11+x1+xbx+1aabbf(x)xf39。(x)f(x)ln179。1，因此lnalnb179。1．163。0，故【解析】F(x)=，F(xiàn)39。(x)=baaxx2f(x)f(a)f(b)222。af(b)163。bf(a)，故選A． F(x)=179。在(0 , +165。)上是減函數(shù)，由ab有xab8第三篇：構造函數(shù)法證明不等式構造函數(shù)法證明不等式河北省 趙春祥不等式證明是中學數(shù)學的重要內(nèi)容之一．由于證明不等式?jīng)]有固定的模式，證法靈活多樣，技巧性強，使其成為各種考試命題的熱點問題，函數(shù)法證明不等式就是其常見題型．即有些不等式可以和函數(shù)建立直接聯(lián)系，通過構造函數(shù)式，利用函數(shù)的有關特性，完成不等式的證明．一、構造一元一次函數(shù)證明不等式例1設0＜x＜1，0＜y＜1，0＜z＜1，求證：x(1－y)＋y(1－z)＋z(1－x)＜1．證明：構造一次函數(shù)f(x)= x(1－y)＋y(1－z)＋z(1－x)，整理，得f(x)=(1－y－z)x＋(y＋z－yz)其中0＜x＜1，∵0＜x＜1，0＜y＜1，0＜z＜1，∴－1＜1－y－z＜1．⑴當0＜1－y－z＜1時，f(x)在(0，1)上是增函數(shù)，于是f(x)＜f(1)=1－yz＜1；⑵當－1＜1－y－z＜0時，f(x)在(0，1)上是減函數(shù)，于是f(x)＜f(0)= y＋z－yz = 1－(1－y)(1－z)＜1；⑶當1－y－z = 0，即y＋z = 1時，f(x)= y＋z－yz = 1－yz＜1．綜上，原不等式成立．例2已知 | a |＜1，| b |＜1，| c |＜1，求證：abc＋2＞a＋b＋c．證明：構造一次函數(shù)f(x)=(bc－1)x＋2－b－c，這里，| b |＜1，| c |＜1，| x |＜1，則bc ＜1． ∵f(1)= 1－bc＋2－b－c =(1－bc)＋(1－b)＋(1－c)＞0，f(1)= bc－1＋2－b－c =(1－b)(1－c)＞0，∵－1＜x＜1，∴一次函數(shù)f(x)=(bc－1)x＋2－b－c的圖象在x軸上方，這就是說，當| a |＜1，| b |＜1，| c |＜1時，有(bc－1)a＋2－b－c＞0，即abc＋2＞a＋b＋c．二、構造一元二次函數(shù)證明不等式例3若 a、b、c∈R+，求證：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca ．證明構造函數(shù)f(x)= x2－(b＋c)x＋b2＋c2－bc ．因為 △=(b＋c)2－4(b2＋c2－bc)=－3(b－c)2≤0，又因為二次項的系數(shù)為正數(shù)，所以x2－(b＋c)x＋b2＋c2－bc≥0對任意實數(shù)恒成立． 以a 替換 x 得：a2－(b＋c)a＋b2＋c2－bc≥0，即 a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ ca．例4已知a、b、c、d、e是滿足a＋b＋c＋d＋e= 8，a2＋b2＋c2＋d2＋e2= 16的實數(shù)，求證：0≤e≤5．證明：構造一元二次函數(shù)f(x)= 4x＋2(a＋b＋c＋d)＋a2＋b2＋c2＋d2=(x＋a)2＋(x＋b)2＋(x＋c)2＋(x＋d)2≥0，又∵二次項系數(shù)為正數(shù)，∴△= 4(a＋b＋c＋d)2－16(a2＋b2＋c2＋d2)= 4(8－e)2－16(16－e2)≤0，解之得0≤e≤165．故不等式成立．三、構造單調函數(shù)證明不等式 例5已知 a＞0，b＞0，求證 ：證明： 構造函數(shù)f(x)=x1+xa1+a＋b1+b＞xa+b1+a+b．，易證f(x)=1+x= 1－1+x當x＞0 時單調遞增．∵ a＋b＋ab＞a＋b＞0，∴ f(a＋b＋ab)＞f(a＋b)． 故a1+a＋b1+b=a+b+2ab(1+a)(1+b)＞a+b+ab1+a+b+ab)=f(a＋b＋ab)＞f(a＋b)=13n213n+1a+b1+a+b．例6對任意自然數(shù)n 求證：(1＋1)(1＋14)…(1＋13n2)＞3n+1．證明：構造函數(shù)f(n)=(1＋1)(1＋13n+1)…(1＋3，由f(n+1)f(n)(1+)33n+1=3n
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