凸函數(shù)在證明不等式中的應用(編輯修改稿)
2025-07-20 16:21 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ，即為在上的下界.綜上，在I上的任一閉子區(qū)間上有界.3 凸函數(shù)在證明不等式中的應用在許多證明題中，我們常常遇到一些不等式的證明，其中有一類不等式利用凸函數(shù)的性質定理來證明可以非常簡潔、巧妙，但關鍵是構造能夠解決問題的凸函數(shù)，運用函數(shù)的凸性及幾個等價論斷，使不等式簡化進而得以證明.不等式[1] 是區(qū)間上的凸函數(shù)，對于滿足 的任意 ，有： （3）凸函數(shù)在不等式證明中的應用很大程度上是由Jensen不等式來體現(xiàn)的，每個凸函數(shù)都有一個Jensen不等式，為證明不等式開辟了一條新路.它還可以有如下兩種形式：（1）總和不等式[2] 設是 內(nèi)的凸函數(shù)，則對 內(nèi)的任意一組值及任意正數(shù) 必有不等式： （4）當且僅當都相等時等式成立.（2）積分不等式[2] 設為上的可積函數(shù)，而，則當為凸函數(shù)時有 （5） 凸函數(shù)在證明一般不等式中的應用一、利用凸函數(shù)的定義證明不等式例1 求證：對任意實數(shù)，有。證明 設，則，故為上的凸函數(shù)，從而對，由（1）式有，即.例2 設，證明：。證明 設 ，那么，由知，故為嚴格凸函數(shù).令，得，又=0，=1，得，即.二、利用凸函數(shù)的性質證明不等式例3 設函數(shù)是區(qū)間上的凸函數(shù)，對于求證：.證明 對,由引理，有 ，即，令,對上式兩邊求和，有，整理，得：.例4 設均為正數(shù)，且求證：.證明 考慮函數(shù)因為，所以是凸函數(shù).若，由（3）式，令，則有，即，又，則， ①由柯西不等式：，得 ， ②綜合①、②兩式，可以得到：. 凸函數(shù)在證明經(jīng)典不等式中的應用一、 利用凸函數(shù)證明平均值不等式在初等數(shù)學中，我們知道調(diào)和平均值不大于幾何平均值
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