凸函數(shù)在初等代數(shù)中的應用(編輯修改稿)
2025-07-20 16:20 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 等代數(shù)中的應用函數(shù)凹凸性雖然是高等數(shù)學的一個內(nèi)容,但在初等代數(shù)中卻有著廣泛應用. 在證明不等式中的應用證明不等式是初等代數(shù)的一個重點內(nèi)容,也是難點內(nèi)容,有時若用凸函數(shù)的性質(zhì)去證明不等式,往往會有奇妙的效果.例 若,求證.證明 作上的凸函數(shù),而,所以有.注 若用數(shù)學歸納法證明很難而且不易找到其解題思路,但巧妙運用函數(shù)的凸性,可以快速解決問題,并且使證明過程變得簡單易懂.例 已知函數(shù),若且,證明.證明 因為 ,且,故,所以有.注 若該題采用常規(guī)方法,對三角函數(shù)式變形要求較高,而利用函數(shù)凸性則可避免復雜的變形和計算.例 若,則( ). A. B. C. D. 解 由,得均為正數(shù),由均值不等式得,又由對數(shù)函數(shù),則有,所以函數(shù)在其定義域內(nèi)是上凸函數(shù),故有,選B. 在有關函數(shù)圖像問題中的應用利用函數(shù)的凸性,不僅可以用來證明不等式,求取值范圍,而且還可以深刻地研究函數(shù)的有關性質(zhì)和繪制函數(shù)圖像,并結合圖像來解決問題.例 已知為正整數(shù),且,證明.分析 如圖2,作出函數(shù)的簡圖,圖象過點.圖2設直線交曲線于點B,交線段AC于點F,則,由函數(shù)的凹凸性可知函數(shù)為凸函數(shù),則有時,有,即,可化為 . 證明 設數(shù)列的通項為,則式可化為為,則有,即,變形得,所以成立.例 如圖所示,單位圓中弧的長為
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