凸函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用信息與計算科學專業(yè)畢業(yè)設(shè)計畢業(yè)論文(編輯修改稿)
2025-02-12 08:45 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 因此，(0,≠1)是（∞，∞）上的嚴格凸函數(shù)。 凸函數(shù)的等價定義 定義 1 設(shè)在區(qū)間上有定義，在上成為凸函數(shù)當且僅當對任意 ,∈,任意∈(0,1)有 若不等號反向，則稱 為上的凹函數(shù)。若“≤”改為“”，則稱 為上的嚴格凸函數(shù)。定義2 設(shè)在區(qū)間上有定義,在上成為凸函數(shù)當且僅當對任意,∈,有 定義3 設(shè)在區(qū)間上有定義，在上成為凸函數(shù)當僅當對任意,…,∈,有 推論：若在區(qū)間上成為凸函數(shù)，則對任意,有 注：若在上連續(xù)，則上述定義1,2,3等價。 2 凸函數(shù)的簡單性質(zhì)在本節(jié)中，來敘述關(guān)于凸函數(shù)的一些常用的簡單的性質(zhì)。 設(shè)在區(qū)間I上為凸函數(shù)，對任意，則:時，在區(qū)間上為凸函數(shù)時，在區(qū)間上為凹函數(shù) 設(shè)，是間I上的凸函數(shù)，則其和也是I上的凸函數(shù)。推論：設(shè)，是間I上的凸函數(shù)，則線性組合的函數(shù)為I上的凸函數(shù)為I上的凹函數(shù) 若設(shè)，是間I上的凸函數(shù)，則為I上的凸函數(shù) 設(shè)是單調(diào)遞增的凸函數(shù)，u = f (x)是凸函數(shù)，則復合函數(shù)也是凸函數(shù) 設(shè)為區(qū)間I上的凹函數(shù)，則為區(qū)間I上的凸函數(shù)，反之不真。證明：要證為區(qū)間I上的凸函數(shù)，即證任意有因為，為凹函數(shù)。故有所以：只需證明：由于，故 成立，結(jié)論得證。另：設(shè)為R上的凸函數(shù)，但仍為凸函數(shù)。 若在區(qū)間I上為凸函數(shù)，對任意，則為I的內(nèi)點。則單側(cè)導數(shù)皆存在，且。推論：若為I上的凸函數(shù)，則在I上的內(nèi)點連續(xù)。 為區(qū)間上的凸函數(shù)，對任意對任意有證明：（必要性） 已知為區(qū)間上的凸函數(shù)，存在，且單調(diào)于。故對當時有同理，當時，當時有因為 故對，對，總有（充分性）對，由題設(shè)，對，存在使得在上式中分別令得證畢。3 凸函數(shù)的判定定理利用凸函數(shù)的定義判別函數(shù)是否為凸函數(shù)，常常并不方便。因此需要建立一系列的便于應(yīng)用的判別法。 若函數(shù)是區(qū)間上的遞增可積函數(shù)，則變動上限積分所定義的函數(shù)是上的一個凸函數(shù)。證明：設(shè)，則由于是遞增的，故從而得這樣，由定義1可知，是凸函數(shù)。，則在上成為凸函數(shù)的充分必要條件是：在上證明：（1）必要性，已知為凸函數(shù)，令，并設(shè)因而，這樣就有即用反證法，假定，由可知，存在，使得另外，從 知是的減函數(shù)。但這函數(shù)當時等于。因此，這與結(jié)論矛盾，因而（2） 充分性，兩次應(yīng)用中值定理有，及，從而再由得在上式中，令及得兩式相加得故是凸函數(shù)。 證畢 函數(shù)在內(nèi)是凸函數(shù)，因為。 若在區(qū)間上存在，則在區(qū)間是嚴格凸函數(shù)。4 關(guān)于凸函數(shù)的幾個重要不等式 不等式（凸函數(shù)的基本不等式）設(shè)是間上的凸函數(shù)，則對中任意個數(shù)成立不等式當僅當時等號。（總和不等式）若是上的連續(xù)凸函數(shù)，是一組不為零的非負數(shù)，則成立不等式：當僅當都相等時等式成立。證明：（1）特別地，設(shè)都是非負有理數(shù)，為自然數(shù)；為非負數(shù)，這樣分子，分母同乘以，上面分式就成了凸函數(shù)的基本不等式的樣子，此時因而得證。（2） 一般地，設(shè)都是非負實數(shù)，記則可具有公分母的有理數(shù)列，使）這樣由（1）有考慮到具有連續(xù)性，因而對上面不等式的兩邊極限
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