凸函數(shù)的性質(zhì)及其應用信息與計算科學專業(yè)畢業(yè)設計畢業(yè)論文-文庫吧資料
2025-01-22 08:45本頁面
【正文】 根據(jù)積分不等式立得整理可得 若，則證明：設，因故是凸函數(shù)。（總和不等式）若是上的連續(xù)凸函數(shù)，是一組不為零的非負數(shù)，則成立不等式：當僅當都相等時等式成立。 若在區(qū)間上存在，則在區(qū)間是嚴格凸函數(shù)。因此，這與結(jié)論矛盾，因而（2） 充分性，兩次應用中值定理有，及，從而再由得在上式中，令及得兩式相加得故是凸函數(shù)。，則在上成為凸函數(shù)的充分必要條件是：在上證明：（1）必要性，已知為凸函數(shù)，令，并設因而，這樣就有即用反證法，假定，由可知，存在，使得另外，從 知是的減函數(shù)。 若函數(shù)是區(qū)間上的遞增可積函數(shù)，則變動上限積分所定義的函數(shù)是上的一個凸函數(shù)。3 凸函數(shù)的判定定理利用凸函數(shù)的定義判別函數(shù)是否為凸函數(shù)，常常并不方便。 為區(qū)間上的凸函數(shù)，對任意對任意有證明：（必要性） 已知為區(qū)間上的凸函數(shù)，存在，且單調(diào)于。則單側(cè)導數(shù)皆存在，且。另：設為R上的凸函數(shù)，但仍為凸函數(shù)。證明：要證為區(qū)間I上的凸函數(shù)，即證任意有因為，為凹函數(shù)。 設在區(qū)間I上為凸函數(shù)，對任意，則:時，在區(qū)間上為凸函數(shù)時，在區(qū)間上為凹函數(shù) 設，是間I上的凸函數(shù)，則其和也是I上的凸函數(shù)。定義2 設在區(qū)間上有定義,在上成為凸函數(shù)當且僅當對任意,∈,有 定義3 設在區(qū)間上有定義，在上成為凸函數(shù)當僅當對任意,…,∈,有 推論：若在區(qū)間上成為凸函數(shù)，則對任意,有 注：若在上連續(xù)，則上述定義1,2,3等價。 凸函數(shù)的等價定義 定義 1 設在區(qū)間上有定義，在上成為凸函數(shù)當且僅當對任意 ,∈,任意∈(0,1)有 若不等號反向，則稱 為上的凹函數(shù)。 例1 . 指數(shù)函數(shù)(0,≠1)是（∞，+∞）上的嚴格凸函數(shù)。定義1 設是定義在區(qū)間上的函數(shù)，若對上的任意兩點,常有 則稱為上的凸函數(shù)。1 凸函數(shù)的概念與等價定義 凸函數(shù)的概念人們常用凸與凹來反映曲線的彎曲方向。本世紀初建立了凸函數(shù)理論以來,凸函數(shù)這一重要概念已在許多數(shù)學分支中得到了廣泛應用。”它使用許多數(shù)學工具（包括概率統(tǒng)計、數(shù)理分析、線性代數(shù)等）和邏輯判斷方法，來研究系統(tǒng)中人、財、物的組織管理、籌劃調(diào)度等問題，以期發(fā)揮最大效益。運籌學是在二十世紀四十年代才開始興起的一門分支。 本科學生畢業(yè)論文（設計） 題目（中文）： 凸函數(shù)的性質(zhì)及其應用 （英文）：Nature and Application of Convex Function 姓 名 羅立鋒 學 號 200516051116 院 系 數(shù)學與計算科學系 專業(yè)年級 信息與計算科學2005級
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