抽屜原理及其應(yīng)用數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)畢業(yè)設(shè)計(jì)畢業(yè)論文-文庫(kù)吧資料
2024-08-23 10:48本頁(yè)面
【正文】 剩下的 8 個(gè)點(diǎn)都屬于這 7 種情況之一，那么，運(yùn)用鴿巢原理，則至少存在兩個(gè)點(diǎn)屬于這 7 種情況中的同一個(gè)情況，那么，這兩點(diǎn)中必存在一個(gè)坐標(biāo)為整數(shù)的內(nèi)點(diǎn).例 1 到 326 的 326 個(gè)整數(shù)任意分為 5 個(gè)部分，試證其中有一部分至少有一個(gè)數(shù)是某兩個(gè)數(shù)之和，或是另一個(gè)數(shù)的兩倍.解（用反證法） 假設(shè)存在劃分 ， 中沒(méi)有數(shù)??326,154321?PP?i )5,4321(?是兩個(gè)數(shù)之和， 即 ),(?根據(jù)鴿巢原理（推論 1）設(shè) 1 到 326 中至少有 個(gè)元素屬于 ，并設(shè)為6532????????1P，不妨設(shè) .},{62aA?? 621aa??若 A 中存在一個(gè)元素是某兩個(gè)元素之差，令，令 .165132121 ,bb???? },{6521bB??顯然 B 中的元素仍然是 1 到 326 之間的數(shù)，即 .根,1,3????ii據(jù)假定 B 中無(wú)一屬于 ，所以 B 的元素屬于 ， ， ， .P2P345同理，設(shè) B 中至少存在屬于 P2 的 17465???????,不妨設(shè) .},{1721cC??1721cc??則根據(jù)假設(shè)，在 C ，令 ，顯然 D 中171632121 ,ddd ????? },{1621dD??的元素仍然是 1 到 326 之間的數(shù),即 .,326???ii易知存在整數(shù) , 使得 .所lm mlmlk aac???? )()(111以，D 中的元素不屬于 ，也不屬于 ，只能屬于 ， ， . 1P23P45根據(jù)鴿巢原理（推論 1），設(shè)至少存在 個(gè)元素屬于 .設(shè)為61??????3P.令 .32654321 ??fff },{654321fffF?則根據(jù)假設(shè)，在 F 中不存在一個(gè)元素是某兩個(gè)元素之差， 令 .令 ,顯然 G 中165132121 , fgfgfg ???? ??54321,gG的元素不屬于 .且對(duì)于 存在 使得3Pi mlqp,. mlmlqppii aaccfg ????? )()()()( 11111故 G 中的元素也不屬于 和 ，則 G 中的元素屬于 ， .2 4P5對(duì)于 G 中的 5 個(gè)元素，根據(jù)鴿巢原理，設(shè)至少存在 個(gè)屬于 .設(shè)312?????4P為 .令 .令 .32621?h},{321hH? },{, 211311 tThtht ???顯然，T 中的元素不屬于 ， ， ， ，故 T 的元素屬于 .但根據(jù)P4P5假定 ，令 ，則 且 u 不屬于 .同樣，u 也不屬121tt??12tu?6??5于 ， ， ， ， 即存在一個(gè)整數(shù) ， 不屬于 ， ， ， ， .這P34 3212P345與將 1 至 326 之間的整數(shù)任意分為 5 部分的假定相矛盾.因此，. 高等代數(shù)中的應(yīng)用例 121221220nnnaxaxxx????????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??其中 ,證明存在不全為零的整數(shù)????,0,ijaij???? ?適合nx21,2? ??njni 2,12??證明 令 ， ，??2ijnAa??122nxXx?????????????0?O則該齊次線(xiàn)性方程組可寫(xiě)成 A設(shè)集合 S={ }njnxXjn2,1,:21???????????? D={ :X S}??????????njjnjjjjxaxaAX21211??映射 = ,因?yàn)?{1，0，1}，所以:SDXAf?S??21n?ja1?對(duì)每個(gè) X S，它的 2n 個(gè)分量適合? 21221nijiiinaxaxx??? 122n?? ≤ （i=1,2, ,n）2n?因此 又??241D?? ???222()414nnn????根據(jù)抽屜原理.(映射形式設(shè) A 和 B 是兩個(gè)有限集，如果 那么對(duì)從 A 到 B 的任何滿(mǎn)映AB射 f，至少存在 , ,使 f( )=f( ).）1a21a2S 中至少存在兩個(gè)不同的元 ???????????????njjjniii xxXxx221221,??使 ,即 , .??jifxf?jiA??0??ji令 ，則 即是我們所要求的， 是????????????njijinxx221221??????????n221?? n2,1??不全為零的整數(shù)，且滿(mǎn)足.??nkjkikjkik 2,1??????例 7. 設(shè) 為 階方陣，證明存在 1 ，使秩( )=秩( )=秩AnniiA1?i ???)(2iA證明 因?yàn)?階方陣的秩只能是 這 +1 個(gè)數(shù)之一.,2,0 ?, 的個(gè)數(shù)多于秩的個(gè)數(shù)，由抽屜原理可知，存在 ,?E120,?n? E k滿(mǎn)足 1 使l?kl秩( )= 秩( ),kAl但秩( ) 秩( ) … 秩( ),k?1?k?lA所以秩( )=秩( ),kA1?k利用此式與秩的性質(zhì)得秩( ) 秩( )+秩( )秩( ),ABC?BC這里的 是任意三個(gè)可乘矩陣，用數(shù)學(xué)歸納法可證BA,秩( )=秩( ).mk?1?mkA其中 為非負(fù)整數(shù)，故命題的結(jié)論成立. 秩( )=秩( )=秩 . mi1?i ???)(2iA 抽象代數(shù)中的應(yīng)用例 :有限群中的每個(gè)元素的階均有限．證明 設(shè) G 為 n 階有限群，任取 a∈G，則由抽屜原理可知 中必231,naa??有相等的．不妨設(shè) 于是有 ，從而 a 的階有限．,11stasn????ste??例 R 必是域.證明 根據(jù)魏得邦定理，只需證明 R 是除環(huán)即可.(設(shè) 是環(huán)且 ，則 R 是除環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)對(duì) R 中任意元素 ，方程R1? ba,0?ax=b 或 ya=b 在 中有解) 在 R 中任取元素 .ba,0? 考慮 ???,211 ???iRyNtt 易知， 都是 的理想.?,32 但由于整環(huán) R 只有有限個(gè)理想，根據(jù)抽屜原理. 必存在正整數(shù) s 與 t 滿(mǎn)足 st. .tssRaba?? 從而存在 c∈R,使 或 .tcba?cst??)(1 即方程 ax=b 在 R 中有解 .xst? 根據(jù)定理,R 是除環(huán). 由魏得邦定理，原命題得證.抽屜原理不僅在高等數(shù)學(xué)中具有廣泛應(yīng)用，在我們的實(shí)際生活中，也能處、賽程安排、資源分配、職稱(chēng)評(píng)定等等，都不難看到抽屜原理的作用.其實(shí)早在中國(guó)古代的春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)期就有了運(yùn)用抽屜原理的例子，那就是《晏子春秋》中的“二桃殺三士”的典故，將兩個(gè)桃子賞賜給三名勇士，在這里可以將桃子看作抽屜，三個(gè)人作為元素放進(jìn)抽屜，則根據(jù)抽屜原理，一定有一個(gè)抽屜要放入兩個(gè)或兩個(gè)以上的元素，回到問(wèn)題情境中就是一定要有兩個(gè)人吃一個(gè)桃子，導(dǎo)致這三名勇士最后自相殘殺而亡，這就是著名的“二桃殺三士”.后來(lái)宋朝時(shí)期費(fèi)袞在他的《梁谿漫志》中就曾運(yùn)用抽屜原理來(lái)駁斥但是流行的“算命”一說(shuō)，費(fèi)袞指出算命是把一個(gè)人出生的年、月、日、時(shí)作為依據(jù)，把這些作為“抽屜” ，則不同的抽屜有 1236060＝259200 為“
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