【正文】 記： （）則有： （）其中。的計(jì)算第一種情況，時(shí)，但是罐體儲(chǔ)油體積不一定為零（如圖4），（圖4）我們計(jì)算此種情況的極限容量，采用體積微元法。由此油量的體積也分為三個(gè)部分來進(jìn)行計(jì)算：，其中分別表示油料在油罐圓柱體，左邊球冠體和右邊球冠體中的容量。請(qǐng)利用罐體變位后在進(jìn)/出油過程中的實(shí)際檢測(cè)數(shù)據(jù)（見附表1），根據(jù)你們所建立的數(shù)學(xué)模型確定變位參數(shù)，并給出罐體變位后油位高度間隔為10cm的罐容表標(biāo)定值。本文改進(jìn)的三點(diǎn)高斯公式梯形公式：辛普森公式：兩點(diǎn)高斯公式：文獻(xiàn)[10]給出改進(jìn)的兩點(diǎn)高斯公式：. 誤差分析近似值代數(shù)精度誤差梯形公式1辛普森公式3兩點(diǎn)高斯公式3文獻(xiàn)[10]改進(jìn)的兩點(diǎn)高斯公式5本文改進(jìn)的三點(diǎn)高斯公式7，本文改進(jìn)的兩點(diǎn)Gauss公式代數(shù)精度至少具有7次，而梯形公式、辛普森公式、兩點(diǎn)高斯公式、文獻(xiàn)[10]改進(jìn)的兩點(diǎn)高斯公式的代數(shù)精度依次是1次，3次，3次，5次，我們的公式代數(shù)精度明顯提高了，誤差明顯減少。 數(shù)值算例我們選擇積分作為數(shù)值算例, 其精確值可以很容易得到：選擇此算例的原因是由于可以計(jì)算出的精確值，所以我們可以比較方便和直觀的比較各種不同的數(shù)值積分計(jì)算公式的相對(duì)誤差。故有改進(jìn)三點(diǎn)高斯公式： （）由于時(shí)，（）式恒成立，故得數(shù)值積分公式（）至少具有7次代數(shù)精度，它實(shí)質(zhì)上是一種改進(jìn)三點(diǎn)高斯公式?，F(xiàn)在令時(shí)方程精確成立。故得到至少5次代數(shù)精度的改進(jìn)兩點(diǎn)高斯公式：容易驗(yàn)證公式（）恰有5次代數(shù)精度。當(dāng)時(shí)，左邊=，右邊=令左邊=右邊，則可解得。當(dāng)時(shí)，左邊=，右邊=。在不增加節(jié)點(diǎn)數(shù)目的前提下為使兩點(diǎn)Gauss公式具有盡可能高的代數(shù)精度，文獻(xiàn)[10]提出對(duì)兩點(diǎn)Gauss公式進(jìn)行如下改進(jìn)： （）當(dāng)=1時(shí)，顯然（）式兩邊都相等。另一個(gè)Gauss型求積公式是GaussChebyshev求積公式，它由（）給出，它除了精度高，還可計(jì)算反常積分。得到求積節(jié)點(diǎn)以后，同樣可利用（）對(duì)精確成立，得到關(guān)于的線性方程組：解此方程組得到的求積公式系數(shù)，它是穩(wěn)定的，也是收斂的，具有較高的精度。例 用三點(diǎn)和四點(diǎn)GaussChebyshev求積公式計(jì)算積分，并估計(jì)誤差。177。177。2177。高斯型求積公式（）。其中 這里是最高項(xiàng)系數(shù)為1的Legendre多項(xiàng)式。利用具有不同權(quán)函數(shù)的正交多項(xiàng)式, 就能得到不同類型的高斯型求積公式:GaussLegendre: .GaussChebyshe：.利用上述幾種公式,數(shù)值積分的近似計(jì)算問題已成功獲得解決。證畢。而公式()的余項(xiàng)可通過的埃米爾特插值多項(xiàng)式得到，設(shè)為，滿足插值條件:.于是有兩端乘權(quán)函數(shù)，并從到積分，則得:其中右端第一項(xiàng)積分對(duì)次多項(xiàng)式精確成立，故由于，故由積分中值定理得()的余項(xiàng)為：.定理6 若()為高斯型求積公式，則其求積系數(shù)皆為正。證畢。由（）可得： （）由于所給求積公式()是插值型的，它對(duì)于是精確成立的，即再注意到，知，從而由（）得到：.可見求積公式（）對(duì)一切次數(shù)不超過的多項(xiàng)式均精確成立。再證明充分性。定理5 插值型求積公式()的節(jié)點(diǎn)是高斯點(diǎn)的充分必要條件是區(qū)間上以這組節(jié)點(diǎn)為零點(diǎn)的多項(xiàng)式：與任何次數(shù)不超過的多項(xiàng)式帶權(quán)正交，即： （）證明 必要性。下面先證明()求積公式的代數(shù)精確度最高為次。于是有：從例題看到直接解方程組()計(jì)算太復(fù)雜，時(shí)一般都不易求解。解 由代數(shù)精確度定義，公式對(duì)精確成立，由()得：通過第4式減去第2式乘得：由此得：。當(dāng)，得于是，可得求積公式：稱為中點(diǎn)求積公式，它的代數(shù)精確度為一次。可選擇()使對(duì)精確成立，從而得到關(guān)于,的(2n+2)個(gè)參數(shù)的非線性方程組。把求積節(jié)點(diǎn)和求積系數(shù)視為同等參數(shù)求解，既可利用方程組得到,也可借助正交多項(xiàng)式的零點(diǎn)來確定。容易推導(dǎo)出以下公式：其中：.由復(fù)合梯形公式的余項(xiàng)知：假設(shè)變化不大，由此得到近似關(guān)系式：，容易驗(yàn)證：同理可得到：,.上述公式稱為Romberg公式. Romberg公式的加速效果是極其顯著的,在相同精度要求下,計(jì)算量較小。對(duì)于復(fù)合梯形求積公式，若原來將區(qū)間分成n等分。復(fù)合Simpson公式：. 逐次分半技術(shù)與Romberg公式如何確定適當(dāng)?shù)氖沟媒浦蹬c真值之差在允許范圍內(nèi),一般來說是比較困難的。因而,人們把目標(biāo)轉(zhuǎn)向積分區(qū)間,類似分段插值,把積分區(qū)間分割成若干小區(qū)間,在每個(gè)小區(qū)間上使用次數(shù)較低的求積公式,然后把每個(gè)小區(qū)間上的結(jié)果加起來作為函數(shù)在整個(gè)區(qū)間上積分的近似,這就是復(fù)合的基本思想。下面我們給出一些常見的NewtonCotes公式及其余項(xiàng):令, 即得梯形公式 .當(dāng)時(shí),.令, 即得Simpson公式.當(dāng)時(shí),令, 即得Cotes公式.當(dāng) 時(shí)，. 復(fù)合求積公式由定積分知識(shí),定積分只與被積函數(shù)和積分區(qū)間有關(guān),而在對(duì)被積函數(shù)做插值逼近時(shí),多項(xiàng)式的次數(shù)越高,對(duì)被積函數(shù)的光滑程度要求也越高,且會(huì)出現(xiàn)Runge現(xiàn)象。由余項(xiàng)公式（），由于這里從而有引進(jìn)變換，并注意到，有：若為偶數(shù)，則為整數(shù)，再令，進(jìn)一步有：據(jù)此可以斷定，因?yàn)楸环e函數(shù)是個(gè)奇函數(shù)。定理4 當(dāng)階為偶數(shù)時(shí),對(duì)應(yīng)的NewtonCotes求積公式（）的代數(shù)精度至少有。（具體程序見附件程序一）。 NewtonCotes公式設(shè)將積分區(qū)間劃分為等分，步長(zhǎng),令，選取等距節(jié)點(diǎn),則Lagrange插值基函數(shù)為：求積系數(shù)可表示為：令：稱為Cotes系數(shù)，則求積公式可化為：那么牛頓柯特斯公式可表示為： （）若令,可得出. 記： （）稱()為NewtonCotes公式的截?cái)嗾`差。梯形公式的余項(xiàng)為：.梯形積分公式具有1次代數(shù)精度,且(k=0,1)，說明梯形公式是穩(wěn)定的。此時(shí)可由插值余項(xiàng)得到：稱為插值求積公式余項(xiàng)，這里ξ∈。 幾種常用數(shù)值積分方法 插值型求積公式在上,用以(k=0,1,…,n)為節(jié)點(diǎn)的次Lagrange插值多項(xiàng)式作為的逼近函數(shù),即可得到插值型求積公式:即其中 這里插值型積分公式至少具有次代數(shù)精度,當(dāng)時(shí)公式是穩(wěn)定的，且求積系數(shù)由插值基函數(shù)積分得到，它與無關(guān)。而穩(wěn)定性是研究的誤差積累，即當(dāng)計(jì)算有誤差時(shí)，只要誤差充分小，則誤差也任意小，這就是穩(wěn)定的。特別當(dāng)節(jié)點(diǎn)給定時(shí)，方程是()關(guān)于的線性方程組，它是容易求解的。數(shù)值積分就是將求積分轉(zhuǎn)化為求，這樣不管被積函數(shù)多么復(fù)雜，它都能在計(jì)算機(jī)上機(jī)械實(shí)現(xiàn)。證明　對(duì)任給，若取，對(duì)(k=0,1,…,n)都要求，則有故求積公式是穩(wěn)定的。定義表明只要計(jì)算被積函數(shù)的誤差充分小，則 的誤差限就可任意小，則求積公式()就是穩(wěn)定的。在求積公式()中，由于計(jì)算可能產(chǎn)生誤差，實(shí)際得到，即。證明 充分性上面已證. 現(xiàn)在來證必要性. 設(shè)求積公式為： () 的代數(shù)精度. 因?yàn)長(zhǎng)agrange基函數(shù)且有性質(zhì)：所以故求積公式()是插值型求積公式。定義2 如果屬于區(qū)間，那么稱：為插值型求積公式，其中求積系數(shù)由()決定。定理1 任意給定個(gè)節(jié)點(diǎn)，如果是次數(shù)不超過的多項(xiàng)式，那么一定存在常數(shù)，使求積公式()精確成立，即：.證明 設(shè)是關(guān)于節(jié)點(diǎn)的次Lagrange插值多項(xiàng)式, 即：其中是Lagrange基函數(shù)，是Lagrange插值余項(xiàng)。則得到關(guān)于系數(shù)的階線性方程組：由于系數(shù)行列式為范德蒙德行列式,其值不為零,則解是唯一確定的。形如： 為求積公式()的余項(xiàng)或誤差，及分別稱為求積公式()的求積節(jié)點(diǎn)及求積系數(shù)，這里求積系數(shù)只與積分區(qū)間有關(guān)，而與無關(guān)。因此，探討高精度數(shù)值積分的構(gòu)造及其應(yīng)用具有明顯的實(shí)際意義。由此可以看出構(gòu)造高精度數(shù)值積分公式是十分必要的。 利用定積分證明不等式。 在力學(xué)中的應(yīng)用，計(jì)算力做的功、位移、能量等作用。而定積分又具有廣泛應(yīng)用，它幾乎是所有課程的公共基礎(chǔ)課。因此，數(shù)值積分的理論與方法還是其他學(xué)科的理論依據(jù)。數(shù)值積分還是微分方程數(shù)值解法的重要依據(jù)。由于以上原因，數(shù)值積分的理論與方法一直是計(jì)算數(shù)學(xué)研究的基本課題。(2) 的原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示，如：。只要數(shù)值積分構(gòu)造得當(dāng)，就能很好的計(jì)算出某個(gè)定積分的近似值。我們知道計(jì)算定積分是采用牛頓—萊布尼茲(NewtonLeibniz)公式：但由于其適用范圍有限，不能普遍適用，因此有其局限性。即用被積函數(shù)的有限個(gè)抽樣值的加權(quán)平均近似值代替定積分的值。關(guān)鍵詞: 數(shù)值積分方法 三點(diǎn)高斯公式 代數(shù)精度I重慶科技學(xué)院本科生畢業(yè)設(shè)計(jì) ABSTRACTABSTRACTIf the primitive function of integrand f(x) cannot be expressed by the elementary function in definite integral putation. We cannot calculate the definite integral by using NewtonLeibniz formula. In real world, integrand is often list function or other forms of discontinuous function in many practical problems. For this kind of function of definite integral，its primary function is obviously unmeaningful。最后，利用一個(gè)數(shù)值算例驗(yàn)證了我們提出公式相比文獻(xiàn)[10]的兩點(diǎn)高斯公式無論是在代數(shù)精度還是在數(shù)值精度方面都有較大提高。
本文首先總結(jié)了數(shù)值積分的基本思想和幾類常用的數(shù)值積分方法，并且給出了數(shù)值積分穩(wěn)定的一般性條件。另外，許多實(shí)際問題中的被積函數(shù)往往是列表函數(shù)或其他形式的非連續(xù)函數(shù)，顯然其原函數(shù)沒有意義，所以對(duì)這類函數(shù)的積分，也不能用經(jīng)典的不定積分方法求解。與我一同工作的同志對(duì)本設(shè)計(jì)（研究）所做的任何貢獻(xiàn)均已在論文中作了明確的說明并表示了謝意。、圖表要求：1）文字通順，語言流暢，書寫字跡工整，打印字體及大小符合要求，無錯(cuò)別字，不