【正文】 得到：.可見求積公式（）對一切次數(shù)不超過的多項(xiàng)式均精確成立。定理5 插值型求積公式()的節(jié)點(diǎn)是高斯點(diǎn)的充分必要條件是區(qū)間上以這組節(jié)點(diǎn)為零點(diǎn)的多項(xiàng)式：與任何次數(shù)不超過的多項(xiàng)式帶權(quán)正交，即： （）證明 必要性。于是有：從例題看到直接解方程組()計(jì)算太復(fù)雜，時一般都不易求解。當(dāng)，得于是，可得求積公式：稱為中點(diǎn)求積公式，它的代數(shù)精確度為一次。把求積節(jié)點(diǎn)和求積系數(shù)視為同等參數(shù)求解，既可利用方程組得到,也可借助正交多項(xiàng)式的零點(diǎn)來確定。對于復(fù)合梯形求積公式，若原來將區(qū)間分成n等分。因而,人們把目標(biāo)轉(zhuǎn)向積分區(qū)間,類似分段插值,把積分區(qū)間分割成若干小區(qū)間,在每個小區(qū)間上使用次數(shù)較低的求積公式,然后把每個小區(qū)間上的結(jié)果加起來作為函數(shù)在整個區(qū)間上積分的近似,這就是復(fù)合的基本思想。由余項(xiàng)公式（），由于這里從而有引進(jìn)變換，并注意到，有：若為偶數(shù)，則為整數(shù)，再令，進(jìn)一步有：據(jù)此可以斷定，因?yàn)楸环e函數(shù)是個奇函數(shù)。（具體程序見附件程序一）。梯形公式的余項(xiàng)為：.梯形積分公式具有1次代數(shù)精度,且(k=0,1)，說明梯形公式是穩(wěn)定的。 幾種常用數(shù)值積分方法 插值型求積公式在上,用以(k=0,1,…,n)為節(jié)點(diǎn)的次Lagrange插值多項(xiàng)式作為的逼近函數(shù),即可得到插值型求積公式:即其中 這里插值型積分公式至少具有次代數(shù)精度,當(dāng)時公式是穩(wěn)定的，且求積系數(shù)由插值基函數(shù)積分得到，它與無關(guān)。特別當(dāng)節(jié)點(diǎn)給定時，方程是()關(guān)于的線性方程組，它是容易求解的。證明　對任給，若取，對(k=0,1,…,n)都要求，則有故求積公式是穩(wěn)定的。在求積公式()中，由于計(jì)算可能產(chǎn)生誤差，實(shí)際得到，即。定義2 如果屬于區(qū)間，那么稱：為插值型求積公式，其中求積系數(shù)由()決定。則得到關(guān)于系數(shù)的階線性方程組：由于系數(shù)行列式為范德蒙德行列式,其值不為零,則解是唯一確定的。因此，探討高精度數(shù)值積分的構(gòu)造及其應(yīng)用具有明顯的實(shí)際意義。 利用定積分證明不等式。而定積分又具有廣泛應(yīng)用，它幾乎是所有課程的公共基礎(chǔ)課。數(shù)值積分還是微分方程數(shù)值解法的重要依據(jù)。(2) 的原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示，如：。我們知道計(jì)算定積分是采用牛頓—萊布尼茲(NewtonLeibniz)公式：但由于其適用范圍有限，不能普遍適用，因此有其局限性。關(guān)鍵詞: 數(shù)值積分方法 三點(diǎn)高斯公式 代數(shù)精度I重慶科技學(xué)院本科生畢業(yè)設(shè)計(jì) ABSTRACTABSTRACTIf the primitive function of integrand f(x) cannot be expressed by the elementary function in definite integral putation. We cannot calculate the definite integral by using NewtonLeibniz formula. In real world, integrand is often list function or other forms of discontinuous function in many practical problems. For this kind of function of definite integral，its primary function is obviously unmeaningful。
本文首先總結(jié)了數(shù)值積分的基本思想和幾類常用的數(shù)值積分方法，并且給出了數(shù)值積分穩(wěn)定的一般性條件。與我一同工作的同志對本設(shè)計(jì)（研究）所做的任何貢獻(xiàn)均已在論文中作了明確的說明并表示了謝意。重慶科技學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 題 目 高精度數(shù)值積分公式的構(gòu)造及其應(yīng)用 學(xué) 院 專業(yè)班級 指導(dǎo)教師 職稱 講師 評閱教師 職稱 年 月 日注 意 事 項(xiàng) （論文）的內(nèi)容包括： 1）封面（按教務(wù)處制定的標(biāo)準(zhǔn)封面格式制作）2）原創(chuàng)性聲明3）中文摘要（300字左右）、關(guān)鍵詞4）外文摘要、關(guān)鍵詞 5）目次頁（附件不統(tǒng)一編入）6）論文主體部分：引言（或緒論）、正文、結(jié)論7）參考文獻(xiàn)8）致謝9）附錄（對論文支持必要時）：理工類設(shè)計(jì)（論文）正文字?jǐn)?shù)不少于1萬字（不包括圖紙、程序清單等）。圖表整潔，布局合理，文字注釋必須使用工程字書寫，不準(zhǔn)用徒手畫3）畢業(yè)論文須用A4單面打印，論文50頁以上的雙面打印4）圖表應(yīng)繪制于無格子的頁面上5）軟件工程類課題應(yīng)有程序清單，并提供電子文檔1）設(shè)計(jì)（論文）2）附件：按照任務(wù)書、開題報(bào)告、外文譯文、譯文原文（復(fù)印件）次序裝訂3）其它學(xué)生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）原創(chuàng)性聲明 本人以信譽(yù)聲明：所呈交的畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）是在導(dǎo)師的指導(dǎo)下進(jìn)行的設(shè)計(jì)（研究）工作及取得的成果，設(shè)計(jì)（論文）中引用他（她）人的文獻(xiàn)、數(shù)據(jù)、圖件、資料均已明確標(biāo)注出，論文中的結(jié)論和結(jié)果為本人獨(dú)立完成，不包含他人成果及為獲得重慶科技學(xué)院或其它教育機(jī)構(gòu)的學(xué)位或證書而使用其材料。因此，數(shù)值積分的理論與方法一直是計(jì)算數(shù)學(xué)研究的基本課題。并將該公式應(yīng)用到2010年數(shù)學(xué)建模A題，取得了比較好的結(jié)果。數(shù)值積分是計(jì)算方法或數(shù)值分析課程中非常重要的教學(xué)內(nèi)容，數(shù)值積分方法也是解決實(shí)際計(jì)算問題的重要方法。以下羅列出牛頓—萊布尼茲公式不適用的三種情況：(1) 的解析式?jīng)]有給出，只給出了的一些離散點(diǎn)。對微積分學(xué)作出杰出貢獻(xiàn)的數(shù)學(xué)大師，如牛頓、歐拉、高斯等人也在數(shù)值積分這個領(lǐng)域作出了各自的貢獻(xiàn)，并奠定了它的理論基礎(chǔ)。由于數(shù)值積分是求解定積分近似值的數(shù)值方法，所以它的意義在于能夠求出定積分的近似值。 在電學(xué)中的應(yīng)用，計(jì)算場強(qiáng)、電勢差、電壓等作用。由于高精度數(shù)值積分具有計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確、代數(shù)精度高、使用方便、穩(wěn)定性好等優(yōu)點(diǎn)。為保證機(jī)械求積公式的精度, 自然希望它對盡可能多的簡單函數(shù)是準(zhǔn)確成立的，如果要求它對一切不超過次多項(xiàng)式都準(zhǔn)確成立, 而對次多項(xiàng)式不一定準(zhǔn)確成立。于是：不妨令： ()則有：因?yàn)槭谴螖?shù)不超過的多項(xiàng)式，所以，這意味著，于是，故：.這個定理告訴我們，具有一定代數(shù)精度的求積公式是存在的。定義3　在求積公式中，若：其中，則稱求積公式()是收斂的。定理3　若求積公式的系數(shù)，則求積公式是穩(wěn)定的。把()式稱為機(jī)械求積公式，為求積節(jié)點(diǎn)，為求積系數(shù)，建立求積公式有兩種途徑，一是利用的插值多項(xiàng)式積分得到，二是根據(jù)代數(shù)精確度概念，通過解方程得到及。定理3表明只要求積公式()的系數(shù)，則求積公式就是穩(wěn)定的。當(dāng)=1時， ，此時可得到：　　　　　　　， 于是有：稱為梯形公式。Cotes系數(shù)與被積函數(shù)和積分區(qū)間都無關(guān),只要給出區(qū)間等分?jǐn)?shù)即可求出。證明 我們只要驗(yàn)證，當(dāng)為偶數(shù)時，牛頓柯特斯公式對的余項(xiàng)為零即可。如時,NewtonCotes公式就是不穩(wěn)定的。而逐次分半技術(shù)是在求積過程中根據(jù)精度的要求,自動確定的選擇是否滿足精度要求,以二分后前后兩次之差來估計(jì)誤差,這樣既縮小了步長,又能保留原有的計(jì)算結(jié)果,減少計(jì)算量。 Gauss型求積公式為進(jìn)一步提高求積公式的代數(shù)精度,可通過適當(dāng)選擇插值節(jié)點(diǎn)和求積系數(shù),使得代數(shù)精度最高達(dá)到。例如，當(dāng)，時，求積公式為：當(dāng)=1，得。用乘以第1式減去第2式有：，用第3式減去乘第2式有：.用前一式代入得：由此得出與異號，即，從而有及.于是可取，再由方程組中的第1式得。若令，則，而.說明()對次多項(xiàng)式不精確成立，故它的最高代數(shù)精確度為次.定義5 如果求積公式()具有次代數(shù)精度，則稱其節(jié)點(diǎn)(k=0,1,…,2n+1)為高斯點(diǎn)，相應(yīng)公式()稱為高斯型求積公式。用除，記商為，余式為，即，其中。根據(jù)此定理可知，高斯型求積公式的節(jié)點(diǎn)就是在上帶權(quán)正交多項(xiàng)式的零點(diǎn)，求積系數(shù)可直接由的插值多項(xiàng)式求出。推論 高斯求積公式()是穩(wěn)定的。余項(xiàng)可由()得到:　 （）例如：當(dāng)=1時，則， ，它比Simpson公式的余項(xiàng)的絕對值還小，且比辛普森公式少算一個函數(shù)值。3177。例 用四點(diǎn)(n=3)的Gauss求積公式計(jì)算先將區(qū)間變換為，令其中(準(zhǔn)確值) GaussChebyshev求積公式區(qū)間為，權(quán)函數(shù)的Gauss型求積公式，其節(jié)點(diǎn)是Chebyshev多項(xiàng)式的零點(diǎn)，即，而，于是得到　　　　　　　　 　　　 （）稱為GaussChebyshev求積公式，公式的余項(xiàng)為：　　　　　　　　　　　 （）這種求積公式可用于計(jì)算奇異積分。通常使用的具體公式是GaussLegendre求積公式（簡稱Gauss求積公式），它是區(qū)間為，權(quán)函數(shù)為的公式，余項(xiàng)由表達(dá)式（）給出，當(dāng)=1時可得，比（三點(diǎn)）simpson公式好，當(dāng)n=2時可得比=4（五點(diǎn)）的Cotes公式好，而計(jì)算量卻減少。當(dāng)時，左邊=，右邊=。當(dāng)，左邊=，右邊=令左邊=右邊，則可解得?？梢越獾模篈=1/2016000，=(a+b)/2(具體程序見附件程序二)。我們分別利用梯形公式、辛普森公式、兩點(diǎn)高斯公式、改進(jìn)兩點(diǎn)高斯公式和本文提出的三點(diǎn)高斯公式數(shù)值計(jì)算，并對它們的代數(shù)精度與誤差進(jìn)行了比較，（具體程序見附件程序三）。油油浮子出油管油位探測裝置注油口檢查口地平線2m6m1m1m3 m油位高度圖1 儲油罐正面示意圖油位探針油位探針α 地平線圖2 儲油罐縱向傾斜變位后示意圖油油浮子出油管油位探測裝置注油口檢查口水平線圖3 儲油罐截面示意圖（b）橫向偏轉(zhuǎn)傾斜后正截面圖β地平線垂直線油位探針（a）無偏轉(zhuǎn)傾斜的正截面圖油位探針油位探測裝置3m重慶科技學(xué)院本科生畢業(yè)設(shè)計(jì) 3改進(jìn)三點(diǎn)Gauss公式一、建立