【正文】 程序七、罐容表標(biāo)定的程序：012：load 。 for k=1:n sum=sum+(test2(A,B,data2(k))test2(A,B,data2(k+1))V2(k))^2。format longdata2=data2./1000。 aa=。 z1=(aa+bb)/2。 z1=(aa+bb)/2。 V1=(bbaa)/2*(5/9*f1(z1z2)+8/9*f1(z1)+5/9*f1(z1+z2))+(bbaa)^7*subs(g11,z,(aa+bb)*cc)/2016000。 V2=(bbaa)/2*(5/9*f2(z1z2)+8/9*f2(z1)+5/9*f2(z1+z2))+(bbaa)^7*subs(g22,z,(aa+bb)*cc)/2016000。 bb=L1+h/tan(a)。f1=(z) R^2*acos((Rh0(z))/R)(Rh0(z))*sqrt(2*h0(z)*Rh0(z)^2)。L2=6。c3=sqrt(15)*(ba)/10。B=simplify(g)程序三、數(shù)值算例程序clear。for i=1:n+1 l=1。在本論文的寫(xiě)作過(guò)程中，我的導(dǎo)師唐利明老師傾注了大量的心血，從選題到開(kāi)題報(bào)告，從寫(xiě)作提綱，到一遍又一遍地指出每稿中的具體問(wèn)題，嚴(yán)格把關(guān)，循循善誘，在此我表示衷心感謝。最后將該公式應(yīng)用到2010年數(shù)學(xué)建模A題的求解中，取得了比較好的結(jié)果。并與實(shí)際體積對(duì)比，根據(jù)公式：計(jì)算出相對(duì)誤差（具體程序見(jiàn)附件程序六）。計(jì)算中采用本文改進(jìn)三點(diǎn)高斯公式，即：則有：二、建立疊加了橫向變位的油位深度和縱向變位時(shí)油位深度的函數(shù)關(guān)系，其中與的位置關(guān)系（如圖9）所示，（圖9）可得函數(shù)關(guān)系為: （）綜合可得三、找出函數(shù)關(guān)系將帶入到第二步的中，得到油液容積與疊加了橫向變位的油位深度的函數(shù)（具體程序見(jiàn)附件程序四）：。其中； （）記為：（4）當(dāng)時(shí)，極限容積為：的計(jì)算下面計(jì)算在右邊球冠中溶液的體積，以右端球冠的球心為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立三維坐標(biāo)系，球的半徑，在直角三角形中，計(jì)算得。油油浮子出油管油位探測(cè)裝置注油口檢查口地平線(xiàn)2m6m1m1m3 m油位高度圖1 儲(chǔ)油罐正面示意圖油位探針油位探針α 地平線(xiàn)圖2 儲(chǔ)油罐縱向傾斜變位后示意圖油油浮子出油管油位探測(cè)裝置注油口檢查口水平線(xiàn)圖3 儲(chǔ)油罐截面示意圖（b）橫向偏轉(zhuǎn)傾斜后正截面圖β地平線(xiàn)垂直線(xiàn)油位探針（a）無(wú)偏轉(zhuǎn)傾斜的正截面圖油位探針油位探測(cè)裝置3m重慶科技學(xué)院本科生畢業(yè)設(shè)計(jì) 3改進(jìn)三點(diǎn)Gauss公式一、建立縱向變位時(shí)油位深度與油量的函數(shù)關(guān)系式計(jì)算儲(chǔ)油罐中油量的體積,我們將儲(chǔ)油罐分為三個(gè)部分，中間部分為圓柱體，兩端為球冠體?？梢越獾模篈=1/2016000，=(a+b)/2(具體程序見(jiàn)附件程序二)。當(dāng)時(shí)，左邊=，右邊=。例 用四點(diǎn)(n=3)的Gauss求積公式計(jì)算先將區(qū)間變換為，令其中(準(zhǔn)確值) GaussChebyshev求積公式區(qū)間為，權(quán)函數(shù)的Gauss型求積公式，其節(jié)點(diǎn)是Chebyshev多項(xiàng)式的零點(diǎn)，即，而，于是得到　　　　　　　　 　　　 （）稱(chēng)為GaussChebyshev求積公式，公式的余項(xiàng)為：　　　　　　　　　　　 （）這種求積公式可用于計(jì)算奇異積分。余項(xiàng)可由()得到:　 （）例如：當(dāng)=1時(shí)，則， ，它比Simpson公式的余項(xiàng)的絕對(duì)值還小，且比辛普森公式少算一個(gè)函數(shù)值。根據(jù)此定理可知，高斯型求積公式的節(jié)點(diǎn)就是在上帶權(quán)正交多項(xiàng)式的零點(diǎn)，求積系數(shù)可直接由的插值多項(xiàng)式求出。若令，則，而.說(shuō)明()對(duì)次多項(xiàng)式不精確成立，故它的最高代數(shù)精確度為次.定義5 如果求積公式()具有次代數(shù)精度，則稱(chēng)其節(jié)點(diǎn)(k=0,1,…,2n+1)為高斯點(diǎn)，相應(yīng)公式()稱(chēng)為高斯型求積公式。例如，當(dāng)，時(shí)，求積公式為：當(dāng)=1，得。而逐次分半技術(shù)是在求積過(guò)程中根據(jù)精度的要求,自動(dòng)確定的選擇是否滿(mǎn)足精度要求,以二分后前后兩次之差來(lái)估計(jì)誤差,這樣既縮小了步長(zhǎng),又能保留原有的計(jì)算結(jié)果,減少計(jì)算量。證明 我們只要驗(yàn)證，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，牛頓柯特斯公式對(duì)的余項(xiàng)為零即可。當(dāng)=1時(shí)， ，此時(shí)可得到：　　　　　　　， 于是有：稱(chēng)為梯形公式。把()式稱(chēng)為機(jī)械求積公式，為求積節(jié)點(diǎn)，為求積系數(shù)，建立求積公式有兩種途徑，一是利用的插值多項(xiàng)式積分得到，二是根據(jù)代數(shù)精確度概念，通過(guò)解方程得到及。定義3　在求積公式中，若：其中，則稱(chēng)求積公式()是收斂的。為保證機(jī)械求積公式的精度, 自然希望它對(duì)盡可能多的簡(jiǎn)單函數(shù)是準(zhǔn)確成立的，如果要求它對(duì)一切不超過(guò)次多項(xiàng)式都準(zhǔn)確成立, 而對(duì)次多項(xiàng)式不一定準(zhǔn)確成立。 在電學(xué)中的應(yīng)用，計(jì)算場(chǎng)強(qiáng)、電勢(shì)差、電壓等作用。對(duì)微積分學(xué)作出杰出貢獻(xiàn)的數(shù)學(xué)大師，如牛頓、歐拉、高斯等人也在數(shù)值積分這個(gè)領(lǐng)域作出了各自的貢獻(xiàn)，并奠定了它的理論基礎(chǔ)。數(shù)值積分是計(jì)算方法或數(shù)值分析課程中非常重要的教學(xué)內(nèi)容，數(shù)值積分方法也是解決實(shí)際計(jì)算問(wèn)題的重要方法。因此，數(shù)值積分的理論與方法一直是計(jì)算數(shù)學(xué)研究的基本課題。重慶科技學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 題 目 高精度數(shù)值積分公式的構(gòu)造及其應(yīng)用 學(xué) 院 專(zhuān)業(yè)班級(jí) 指導(dǎo)教師 職稱(chēng) 講師 評(píng)閱教師 職稱(chēng) 年 月 日注 意 事 項(xiàng) （論文）的內(nèi)容包括： 1）封面（按教務(wù)處制定的標(biāo)準(zhǔn)封面格式制作）2）原創(chuàng)性聲明3）中文摘要（300字左右）、關(guān)鍵詞4）外文摘要、關(guān)鍵詞 5）目次頁(yè)（附件不統(tǒng)一編入）6）論文主體部分：引言（或緒論）、正文、結(jié)論7）參考文獻(xiàn)8）致謝9）附錄（對(duì)論文支持必要時(shí)）：理工類(lèi)設(shè)計(jì)（論文）正文字?jǐn)?shù)不少于1萬(wàn)字（不包括圖紙、程序清單等）。
本文首先總結(jié)了數(shù)值積分的基本思想和幾類(lèi)常用的數(shù)值積分方法，并且給出了數(shù)值積分穩(wěn)定的一般性條件。我們知道計(jì)算定積分是采用牛頓—萊布尼茲(NewtonLeibniz)公式：但由于其適用范圍有限，不能普遍適用，因此有其局限性。數(shù)值積分還是微分方程數(shù)值解法的重要依據(jù)。 利用定積分證明不等式。則得到關(guān)于系數(shù)的階線(xiàn)性方程組：由于系數(shù)行列式為范德蒙德行列式,其值不為零,則解是唯一確定的。在求積公式()中，由于計(jì)算可能產(chǎn)生誤差，實(shí)際得到，即。特別當(dāng)節(jié)點(diǎn)給定時(shí)，方程是()關(guān)于的線(xiàn)性方程組，它是容易求解的。梯形公式的余項(xiàng)為：.梯形積分公式具有1次代數(shù)精度,且(k=0,1)，說(shuō)明梯形公式是穩(wěn)定的。由余項(xiàng)公式（），由于這里從而有引進(jìn)變換，并注意到，有：若為偶數(shù)，則為整數(shù)，再令，進(jìn)一步有：據(jù)此可以斷定，因?yàn)楸环e函數(shù)是個(gè)奇函數(shù)。對(duì)于復(fù)合梯形求積公式，若原來(lái)將區(qū)間分成n等分。當(dāng)，得于是，可得求積公式：稱(chēng)為中點(diǎn)求積公式，它的代數(shù)精確度為一次。定理5 插值型求積公式()的節(jié)點(diǎn)是高斯點(diǎn)的充分必要條件是區(qū)間上以這組節(jié)點(diǎn)為零點(diǎn)的多項(xiàng)式：與任何次數(shù)不超過(guò)的多項(xiàng)式帶權(quán)正交，即： （）證明 必要性。而公式()的余項(xiàng)可通過(guò)的埃米爾特插值多項(xiàng)式得到，設(shè)為，滿(mǎn)足插值條件:.于是有兩端乘權(quán)函數(shù)，并從到積分，則得:其中右端第一項(xiàng)積分對(duì)次多項(xiàng)式精確成立，故由于，故由積分中值定理得()的余項(xiàng)為：.定理6 若()為高斯型求積公式，則其求積系數(shù)皆為正。高斯型求積公式（）。例 用三點(diǎn)和四點(diǎn)GaussChebyshev求積公式計(jì)算積分，并估計(jì)誤差。當(dāng)時(shí)，左邊=，右邊=。故有改進(jìn)三點(diǎn)高斯公式： （）由于時(shí)，（）式恒成立，故得數(shù)值積分公式（）至少具有7次代數(shù)精度，它實(shí)質(zhì)上是一種改進(jìn)三點(diǎn)高斯公式。由此油量的體積也分為三個(gè)部分來(lái)進(jìn)行計(jì)算：，其中分別表示油料在油罐圓柱體，左邊球冠體和右邊球冠體中的容量。則球面方程為：設(shè)為上液面高度，則，其中油位高度。四、用最小二乘參數(shù)估計(jì)法確定參數(shù)最小二乘參數(shù)估計(jì)法基本思想：根據(jù)的關(guān)系表達(dá)式和油量高度，計(jì)算出相鄰高度油量的體積之差 通過(guò)與附件的實(shí)際儲(chǔ)油量進(jìn)行比較，通過(guò)對(duì)進(jìn)行等間距的窮舉最終求得理論值與實(shí)際值的差值的平方和： （）當(dāng)取得最小值，此時(shí)的即為所求的最佳值。： 容量誤差分析顯示高度/mm顯示油量容積/L計(jì)算容積/L相對(duì)誤差 59063 58915 58847 58650 58580 58445 58213 58104 58056 57974 57856 57750 57664 57436 57256 57018 56886 56649 56606 56436 56224 56132 55890 55682 55460 55290 55072 54955 54861 54747從表中得知誤差，誤差比較小，基本上符合實(shí)際情況。數(shù)值求積是數(shù)值計(jì)算中非常重要的內(nèi)容，我們后續(xù)的研究主要集中在如何提出計(jì)算復(fù)雜度小的，代數(shù)精度和數(shù)值精度高的新的數(shù)值求積公式。同