【正文】 程序七、罐容表標(biāo)定的程序：012：load 。 for k=1:n sum=sum+(test2(A,B,data2(k))test2(A,B,data2(k+1))V2(k))^2。format longdata2=data2./1000。 aa=。 z1=(aa+bb)/2。 z1=(aa+bb)/2。 V1=(bbaa)/2*(5/9*f1(z1z2)+8/9*f1(z1)+5/9*f1(z1+z2))+(bbaa)^7*subs(g11,z,(aa+bb)*cc)/2016000。 V2=(bbaa)/2*(5/9*f2(z1z2)+8/9*f2(z1)+5/9*f2(z1+z2))+(bbaa)^7*subs(g22,z,(aa+bb)*cc)/2016000。 bb=L1+h/tan(a)。f1=(z) R^2*acos((Rh0(z))/R)(Rh0(z))*sqrt(2*h0(z)*Rh0(z)^2)。L2=6。c3=sqrt(15)*(ba)/10。B=simplify(g)程序三、數(shù)值算例程序clear。for i=1:n+1 l=1。在本論文的寫作過程中，我的導(dǎo)師唐利明老師傾注了大量的心血，從選題到開題報告，從寫作提綱，到一遍又一遍地指出每稿中的具體問題，嚴(yán)格把關(guān)，循循善誘，在此我表示衷心感謝。最后將該公式應(yīng)用到2010年數(shù)學(xué)建模A題的求解中，取得了比較好的結(jié)果。并與實(shí)際體積對比，根據(jù)公式：計算出相對誤差（具體程序見附件程序六）。計算中采用本文改進(jìn)三點(diǎn)高斯公式，即：則有：二、建立疊加了橫向變位的油位深度和縱向變位時油位深度的函數(shù)關(guān)系，其中與的位置關(guān)系（如圖9）所示，（圖9）可得函數(shù)關(guān)系為: （）綜合可得三、找出函數(shù)關(guān)系將帶入到第二步的中，得到油液容積與疊加了橫向變位的油位深度的函數(shù)（具體程序見附件程序四）：。其中； （）記為：（4）當(dāng)時，極限容積為：的計算下面計算在右邊球冠中溶液的體積，以右端球冠的球心為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立三維坐標(biāo)系，球的半徑，在直角三角形中，計算得。油油浮子出油管油位探測裝置注油口檢查口地平線2m6m1m1m3 m油位高度圖1 儲油罐正面示意圖油位探針油位探針α 地平線圖2 儲油罐縱向傾斜變位后示意圖油油浮子出油管油位探測裝置注油口檢查口水平線圖3 儲油罐截面示意圖（b）橫向偏轉(zhuǎn)傾斜后正截面圖β地平線垂直線油位探針（a）無偏轉(zhuǎn)傾斜的正截面圖油位探針油位探測裝置3m重慶科技學(xué)院本科生畢業(yè)設(shè)計 3改進(jìn)三點(diǎn)Gauss公式一、建立縱向變位時油位深度與油量的函數(shù)關(guān)系式計算儲油罐中油量的體積,我們將儲油罐分為三個部分，中間部分為圓柱體，兩端為球冠體?？梢越獾模篈=1/2016000，=(a+b)/2(具體程序見附件程序二)。當(dāng)時，左邊=，右邊=。例 用四點(diǎn)(n=3)的Gauss求積公式計算先將區(qū)間變換為，令其中(準(zhǔn)確值) GaussChebyshev求積公式區(qū)間為，權(quán)函數(shù)的Gauss型求積公式，其節(jié)點(diǎn)是Chebyshev多項式的零點(diǎn)，即，而，于是得到　　　　　　　　 　　　 （）稱為GaussChebyshev求積公式，公式的余項為：　　　　　　　　　　　 （）這種求積公式可用于計算奇異積分。余項可由()得到:　 （）例如：當(dāng)=1時，則， ，它比Simpson公式的余項的絕對值還小，且比辛普森公式少算一個函數(shù)值。根據(jù)此定理可知，高斯型求積公式的節(jié)點(diǎn)就是在上帶權(quán)正交多項式的零點(diǎn)，求積系數(shù)可直接由的插值多項式求出。若令，則，而.說明()對次多項式不精確成立，故它的最高代數(shù)精確度為次.定義5 如果求積公式()具有次代數(shù)精度，則稱其節(jié)點(diǎn)(k=0,1,…,2n+1)為高斯點(diǎn)，相應(yīng)公式()稱為高斯型求積公式。例如，當(dāng)，時，求積公式為：當(dāng)=1，得。而逐次分半技術(shù)是在求積過程中根據(jù)精度的要求,自動確定的選擇是否滿足精度要求,以二分后前后兩次之差來估計誤差,這樣既縮小了步長,又能保留原有的計算結(jié)果,減少計算量。證明 我們只要驗證，當(dāng)為偶數(shù)時，牛頓柯特斯公式對的余項為零即可。當(dāng)=1時， ，此時可得到：　　　　　　　， 于是有：稱為梯形公式。把()式稱為機(jī)械求積公式，為求積節(jié)點(diǎn)，為求積系數(shù)，建立求積公式有兩種途徑，一是利用的插值多項式積分得到，二是根據(jù)代數(shù)精確度概念，通過解方程得到及。定義3　在求積公式中，若：其中，則稱求積公式()是收斂的。為保證機(jī)械求積公式的精度, 自然希望它對盡可能多的簡單函數(shù)是準(zhǔn)確成立的，如果要求它對一切不超過次多項式都準(zhǔn)確成立, 而對次多項式不一定準(zhǔn)確成立。 在電學(xué)中的應(yīng)用，計算場強(qiáng)、電勢差、電壓等作用。對微積分學(xué)作出杰出貢獻(xiàn)的數(shù)學(xué)大師，如牛頓、歐拉、高斯等人也在數(shù)值積分這個領(lǐng)域作出了各自的貢獻(xiàn)，并奠定了它的理論基礎(chǔ)。數(shù)值積分是計算方法或數(shù)值分析課程中非常重要的教學(xué)內(nèi)容，數(shù)值積分方法也是解決實(shí)際計算問題的重要方法。因此，數(shù)值積分的理論與方法一直是計算數(shù)學(xué)研究的基本課題。重慶科技學(xué)院畢業(yè)設(shè)計（論文） 題 目 高精度數(shù)值積分公式的構(gòu)造及其應(yīng)用 學(xué) 院 專業(yè)班級 指導(dǎo)教師 職稱 講師 評閱教師 職稱 年 月 日注 意 事 項 （論文）的內(nèi)容包括： 1）封面（按教務(wù)處制定的標(biāo)準(zhǔn)封面格式制作）2）原創(chuàng)性聲明3）中文摘要（300字左右）、關(guān)鍵詞4）外文摘要、關(guān)鍵詞 5）目次頁（附件不統(tǒng)一編入）6）論文主體部分：引言（或緒論）、正文、結(jié)論7）參考文獻(xiàn)8）致謝9）附錄（對論文支持必要時）：理工類設(shè)計（論文）正文字?jǐn)?shù)不少于1萬字（不包括圖紙、程序清單等）。
本文首先總結(jié)了數(shù)值積分的基本思想和幾類常用的數(shù)值積分方法，并且給出了數(shù)值積分穩(wěn)定的一般性條件。我們知道計算定積分是采用牛頓—萊布尼茲(NewtonLeibniz)公式：但由于其適用范圍有限，不能普遍適用，因此有其局限性。數(shù)值積分還是微分方程數(shù)值解法的重要依據(jù)。 利用定積分證明不等式。則得到關(guān)于系數(shù)的階線性方程組：由于系數(shù)行列式為范德蒙德行列式,其值不為零,則解是唯一確定的。在求積公式()中，由于計算可能產(chǎn)生誤差，實(shí)際得到，即。特別當(dāng)節(jié)點(diǎn)給定時，方程是()關(guān)于的線性方程組，它是容易求解的。梯形公式的余項為：.梯形積分公式具有1次代數(shù)精度,且(k=0,1)，說明梯形公式是穩(wěn)定的。由余項公式（），由于這里從而有引進(jìn)變換，并注意到，有：若為偶數(shù)，則為整數(shù)，再令，進(jìn)一步有：據(jù)此可以斷定，因為被積函數(shù)是個奇函數(shù)。對于復(fù)合梯形求積公式，若原來將區(qū)間分成n等分。當(dāng)，得于是，可得求積公式：稱為中點(diǎn)求積公式，它的代數(shù)精確度為一次。定理5 插值型求積公式()的節(jié)點(diǎn)是高斯點(diǎn)的充分必要條件是區(qū)間上以這組節(jié)點(diǎn)為零點(diǎn)的多項式：與任何次數(shù)不超過的多項式帶權(quán)正交，即： （）證明 必要性。而公式()的余項可通過的埃米爾特插值多項式得到，設(shè)為，滿足插值條件:.于是有兩端乘權(quán)函數(shù)，并從到積分，則得:其中右端第一項積分對次多項式精確成立，故由于，故由積分中值定理得()的余項為：.定理6 若()為高斯型求積公式，則其求積系數(shù)皆為正。高斯型求積公式（）。例 用三點(diǎn)和四點(diǎn)GaussChebyshev求積公式計算積分，并估計誤差。當(dāng)時，左邊=，右邊=。故有改進(jìn)三點(diǎn)高斯公式： （）由于時，（）式恒成立，故得數(shù)值積分公式（）至少具有7次代數(shù)精度，它實(shí)質(zhì)上是一種改進(jìn)三點(diǎn)高斯公式。由此油量的體積也分為三個部分來進(jìn)行計算：，其中分別表示油料在油罐圓柱體，左邊球冠體和右邊球冠體中的容量。則球面方程為：設(shè)為上液面高度，則，其中油位高度。四、用最小二乘參數(shù)估計法確定參數(shù)最小二乘參數(shù)估計法基本思想：根據(jù)的關(guān)系表達(dá)式和油量高度，計算出相鄰高度油量的體積之差 通過與附件的實(shí)際儲油量進(jìn)行比較，通過對進(jìn)行等間距的窮舉最終求得理論值與實(shí)際值的差值的平方和： （）當(dāng)取得最小值，此時的即為所求的最佳值。： 容量誤差分析顯示高度/mm顯示油量容積/L計算容積/L相對誤差 59063 58915 58847 58650 58580 58445 58213 58104 58056 57974 57856 57750 57664 57436 57256 57018 56886 56649 56606 56436 56224 56132 55890 55682 55460 55290 55072 54955 54861 54747從表中得知誤差，誤差比較小，基本上符合實(shí)際情況。數(shù)值求積是數(shù)值計算中非常重要的內(nèi)容，我們后續(xù)的研究主要集中在如何提出計算復(fù)雜度小的，代數(shù)精度和數(shù)值精度高的新的數(shù)值求積公式。同