【正文】 即得Simpson公式.當(dāng)時(shí),令, 即得Cotes公式.當(dāng) 時(shí)，. 復(fù)合求積公式由定積分知識(shí),定積分只與被積函數(shù)和積分區(qū)間有關(guān),而在對(duì)被積函數(shù)做插值逼近時(shí),多項(xiàng)式的次數(shù)越高,對(duì)被積函數(shù)的光滑程度要求也越高,且會(huì)出現(xiàn)Runge現(xiàn)象。容易推導(dǎo)出以下公式：其中：.由復(fù)合梯形公式的余項(xiàng)知：假設(shè)變化不大，由此得到近似關(guān)系式：，容易驗(yàn)證：同理可得到：,.上述公式稱為Romberg公式. Romberg公式的加速效果是極其顯著的,在相同精度要求下,計(jì)算量較小。解 由代數(shù)精確度定義，公式對(duì)精確成立，由()得：通過(guò)第4式減去第2式乘得：由此得：。再證明充分性。證畢。2177。得到求積節(jié)點(diǎn)以后，同樣可利用（）對(duì)精確成立，得到關(guān)于的線性方程組：解此方程組得到的求積公式系數(shù)，它是穩(wěn)定的，也是收斂的，具有較高的精度。當(dāng)時(shí)，左邊=，右邊=令左邊=右邊，則可解得。 數(shù)值算例我們選擇積分作為數(shù)值算例, 其精確值可以很容易得到：選擇此算例的原因是由于可以計(jì)算出的精確值，所以我們可以比較方便和直觀的比較各種不同的數(shù)值積分計(jì)算公式的相對(duì)誤差。的計(jì)算第一種情況，時(shí)，但是罐體儲(chǔ)油體積不一定為零（如圖4），（圖4）我們計(jì)算此種情況的極限容量，采用體積微元法。利用圓缺的面積公式，圓缺的面積為：我們采用體積元素法，體積元素為：則在區(qū)間對(duì)體積元素求定積分，得： （）為了便于后面數(shù)值解法書(shū)寫(xiě)方便，我們記：所以（15）式變?yōu)椋旱挠?jì)算由于左邊球冠與右邊球冠的形狀相似，我們采用的計(jì)算方法，左邊低液面的高度設(shè)為，只要將（15）式中的換成,即可得。于是我們?cè)诠潭▍^(qū)間進(jìn)行搜索，尋找此區(qū)間內(nèi)的最優(yōu)解，取步長(zhǎng)。所以以其值來(lái)計(jì)算儲(chǔ)油罐的容量，并對(duì)不同高度給予容量標(biāo)定。[J].新疆財(cái)經(jīng)大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）,2010,26(3):1719[13].張景中，[J].電子科技大學(xué)（自然科學(xué)版）,2010(10):153154[14].[J].蘇州工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），14(4)：48—49[15].李海合，[J].水師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）, 2009,25(9): 2022[16].[J].北電力大學(xué)學(xué)報(bào),2010,23(3):11491159[17].陳佩寧，[J].石家莊職業(yè)技術(shù)學(xué)院（自然科學(xué)版）,2009,22(4):5658[18].鄭華盛，胡結(jié)梅，（自然科學(xué)版）,，16(3)重慶科技學(xué)院本科生畢業(yè)設(shè)計(jì) 致謝致謝非常感謝唐利明老師在我大學(xué)的最后學(xué)習(xí)階段——畢業(yè)設(shè)計(jì)階段給自己的指導(dǎo)，從最初的定題，到資料收集，到寫(xiě)作、修改，到論文定稿他給了我耐心的指導(dǎo)和無(wú)私的幫助。我將銘記我曾是一名重慶科技學(xué)院學(xué)子，在今后的工作中把重慶科技學(xué)院的優(yōu)良傳統(tǒng)發(fā)揚(yáng)光大。end：clearclcN=zeros(8,9)。f=(x) exp(x)。format long。h0=(z) h+(L1z)*tan(a)。f2=(z) r(z)^2*acos((r(z)h1(z))/r(z))(r(z)h1(z))*sqrt(2*h1(z)*r(z)h1(z)^2)。 V1=(bbaa)/2*(5/9*f1(z1z2)+8/9*f1(z1)+5/9*f1(z1+z2))+(bbaa)^7*subs(g11,z,(aa+bb)*cc)/2016000。amp。 z1=(aa+bb)/2。 V=V1+V2+V3。 aa=。 z2=sqrt(15)*(bbaa)/10。n=length(V2)。 A1=A B1=B end endend A1B1： ：程序六、儲(chǔ)油罐容量誤差分析程序： ：load 。endV=V39。n=length(yanzh)。for i=0:1000 A=0+*i。 V=V1+V2+V3。 z1=(aa+bb)/2。amp。 V2=(bbaa)/2*(5/9*f2(z1z2)+8/9*f2(z1)+5/9*f2(z1+z2))+(bbaa)^7*subs(g22,z,(aa+bb)*cc)/2016000。 bb=8。 bb=。g22=diff(g2,z,6)。r=(z) sqrt(^2z^2)。b=pi*B/180。b=1。endN程序二、計(jì)算改進(jìn)三點(diǎn)高斯公式的：clearclcsyms a b。format rat。同時(shí)，感謝所有任課老師和所有同學(xué)在這四年來(lái)給自己的指導(dǎo)和幫助，是他們教會(huì)了我專業(yè)知識(shí)，教會(huì)了我如何學(xué)習(xí)，教會(huì)了我如何做人。罐容表標(biāo)定值H(mm)V（L）H（mm）V(L)0391500303751003411600331952001064170036010300223718003880540037271900415655005467200044273600741521004691270095412200494678001181923005191990014228240054249100016746250056435110019356260058453120022040270060275130024782280061863140027565290063163重慶科技學(xué)院本科生畢業(yè)設(shè)計(jì) 4結(jié)束語(yǔ)4 結(jié)束語(yǔ)本文是對(duì)數(shù)值積分的一個(gè)簡(jiǎn)單總結(jié)，我們首先總結(jié)了數(shù)值積分的基本思想和相關(guān)理論，并且介紹幾類常用的數(shù)值積分方法，其中我們著重介紹了和本文改進(jìn)算法相關(guān)的高斯求積公式，并且給出了數(shù)值積分穩(wěn)定的一般性條件—求積系數(shù)。 第三步 帶入到（）式，計(jì)算方程組中兩個(gè)方程誤差的平方和，； 第四步 如果，轉(zhuǎn)第二步； 第五步 如果，保存，否則保存； 第六步 最終保存的是最優(yōu)解。下面我們分三種情況計(jì)算整個(gè)油罐中油的容量。為了便于后面數(shù)值解法書(shū)寫(xiě)方便，我們記： （）則有： （）其中。本文改進(jìn)的三點(diǎn)高斯公式梯形公式：辛普森公式：兩點(diǎn)高斯公式：文獻(xiàn)[10]給出改進(jìn)的兩點(diǎn)高斯公式：. 誤差分析近似值代數(shù)精度誤差梯形公式1辛普森公式3兩點(diǎn)高斯公式3文獻(xiàn)[10]改進(jìn)的兩點(diǎn)高斯公式5本文改進(jìn)的三點(diǎn)高斯公式7，本文改進(jìn)的兩點(diǎn)Gauss公式代數(shù)精度至少具有7次，而梯形公式、辛普森公式、兩點(diǎn)高斯公式、文獻(xiàn)[10]改進(jìn)的兩點(diǎn)高斯公式的代數(shù)精度依次是1次，3次，3次，5次，我們的公式代數(shù)精度明顯提高了，誤差明顯減少。故得到至少5次代數(shù)精度的改進(jìn)兩點(diǎn)高斯公式：容易驗(yàn)證公式（）恰有5次代數(shù)精度。另一個(gè)Gauss型求積公式是GaussChebyshev求積公式，它由（）給出，它除了精度高，還可計(jì)算反常積分。177。利用具有不同權(quán)函數(shù)的正交多項(xiàng)式, 就能得到不同類型的高斯型求積公式:GaussLegendre: .GaussChebyshe：.利用上述幾種公式,數(shù)值積分的近似計(jì)算問(wèn)題已成功獲得解決。由（）可得： （）由于所給求積公式()是插值型的，它對(duì)于是精確成立的，即再注意到，知，從而由（）得到：.可見(jiàn)求積公式（）對(duì)一切次數(shù)不超過(guò)的多項(xiàng)式均精確成立。于是有：從例題看到直接解方程組()計(jì)算太復(fù)雜，時(shí)一般都不易求解。把求積節(jié)點(diǎn)和求積系數(shù)視為同等參數(shù)求解，既可利用方程組得到,也可借助正交多項(xiàng)式的零點(diǎn)來(lái)確定。因而,人們把目標(biāo)轉(zhuǎn)向積分區(qū)間,類似分段插值,把積分區(qū)間分割成若干小區(qū)間,在每個(gè)小區(qū)間上使用次數(shù)較低的求積公式,然后把每個(gè)小區(qū)間上的結(jié)果加起來(lái)作為函數(shù)在整個(gè)區(qū)間上積分的近似,這就是復(fù)合的基本思想。（具體程序見(jiàn)附件程序一）。 幾種常用數(shù)值積分方法 插值型求積公式在上,用以(k=0,1,…,n)為節(jié)點(diǎn)的次Lagrange插值多項(xiàng)式作為的逼近函數(shù),即可得到插值型求積公式:即其中 這里插值型積分公式至少具有次代數(shù)精度,當(dāng)時(shí)公式是穩(wěn)定的，且求積系數(shù)由插值基函數(shù)積分得到，它與無(wú)關(guān)。證明　對(duì)任給，若取，對(duì)(k=0,1,…,n)都要求，則有故求積公式是穩(wěn)定的。定義2 如果屬于區(qū)間，那么稱：為插值型求積公式，其中求積系數(shù)由()決定。因此，探討高精度數(shù)值積分的構(gòu)造及其應(yīng)用具有明顯的實(shí)際意義。而定積分又具有廣泛應(yīng)用，它幾乎是所有課程的公共基礎(chǔ)課。(2) 的原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示，如：。關(guān)鍵詞: 數(shù)值積分方法 三點(diǎn)高斯公式 代數(shù)精度I重慶科技學(xué)院本科生畢業(yè)設(shè)計(jì) ABSTRACTABSTRACTIf the primitive function of integrand f(x) cannot be expressed by the elementary function in definite integral putation. We cannot calculate the definite integral by using NewtonLeibniz formula. In real world, integrand is often list function or other forms of discontinuous function in many practical problems. For this kind of function of definite integral，its primary function is obviously u