【正文】 ，但對于次多項式不準(zhǔn)確成立，則稱該求積公式具有次代數(shù)精度。定理1 任意給定個節(jié)點(diǎn)，如果是次數(shù)不超過的多項式，那么一定存在常數(shù)，使求積公式()精確成立，即：.證明 設(shè)是關(guān)于節(jié)點(diǎn)的次Lagrange插值多項式, 即：其中是Lagrange基函數(shù)，是Lagrange插值余項。于是：不妨令： ()則有：因?yàn)槭谴螖?shù)不超過的多項式，所以，這意味著，于是，故：.這個定理告訴我們，具有一定代數(shù)精度的求積公式是存在的。定義2 如果屬于區(qū)間，那么稱：為插值型求積公式，其中求積系數(shù)由()決定。定理2 形如()的求積公式至少有次代數(shù)精度的充分必要條件是它是插值型的。證明 充分性上面已證. 現(xiàn)在來證必要性. 設(shè)求積公式為： () 的代數(shù)精度. 因?yàn)長agrange基函數(shù)且有性質(zhì)：所以故求積公式()是插值型求積公式。定義3　在求積公式中，若：其中，則稱求積公式()是收斂的。在求積公式()中，由于計算可能產(chǎn)生誤差，實(shí)際得到，即。記：如果對任給小正數(shù)，只要誤差充分小就有：它表明求積公式是穩(wěn)定的，由此給出：定義4　對任給，只要，就有：則稱求積公式()是穩(wěn)定的。定義表明只要計算被積函數(shù)的誤差充分小，則 的誤差限就可任意小，則求積公式()就是穩(wěn)定的。定理3　若求積公式的系數(shù)，則求積公式是穩(wěn)定的。證明　對任給，若取，對(k=0,1,…,n)都要求，則有故求積公式是穩(wěn)定的。證畢。數(shù)值積分就是將求積分轉(zhuǎn)化為求，這樣不管被積函數(shù)多么復(fù)雜，它都能在計算機(jī)上機(jī)械實(shí)現(xiàn)。把()式稱為機(jī)械求積公式，為求積節(jié)點(diǎn)，為求積系數(shù)，建立求積公式有兩種途徑，一是利用的插值多項式積分得到，二是根據(jù)代數(shù)精確度概念，通過解方程得到及。特別當(dāng)節(jié)點(diǎn)給定時，方程是()關(guān)于的線性方程組，它是容易求解的。求積公式收斂性簡單的說就是當(dāng)時，和式收斂于積分值。而穩(wěn)定性是研究的誤差積累，即當(dāng)計算有誤差時，只要誤差充分小，則誤差也任意小，這就是穩(wěn)定的。定理3表明只要求積公式()的系數(shù)，則求積公式就是穩(wěn)定的。 幾種常用數(shù)值積分方法 插值型求積公式在上,用以(k=0,1,…,n)為節(jié)點(diǎn)的次Lagrange插值多項式作為的逼近函數(shù),即可得到插值型求積公式:即其中 這里插值型積分公式至少具有次代數(shù)精度,當(dāng)時公式是穩(wěn)定的，且求積系數(shù)由插值基函數(shù)積分得到，它與無關(guān)。如果求積公式中的系數(shù)由插值基函數(shù)積分給出，則稱為插值求積公式。此時可由插值余項得到：稱為插值求積公式余項，這里ξ∈。當(dāng)=1時， ，此時可得到：　　　　　　　， 于是有：稱為梯形公式。梯形公式的余項為：.梯形積分公式具有1次代數(shù)精度,且(k=0,1)，說明梯形公式是穩(wěn)定的。根據(jù)參考文獻(xiàn)[18]可知：若求積公式的代數(shù)精度為,則求積公式余項的表達(dá)式為：其中為不依賴的待定參數(shù)。 NewtonCotes公式設(shè)將積分區(qū)間劃分為等分，步長,令，選取等距節(jié)點(diǎn),則Lagrange插值基函數(shù)為：求積系數(shù)可表示為：令：稱為Cotes系數(shù)，則求積公式可化為：那么牛頓柯特斯公式可表示為： （）若令,可得出. 記： （）稱()為NewtonCotes公式的截斷誤差。Cotes系數(shù)與被積函數(shù)和積分區(qū)間都無關(guān),只要給出區(qū)間等分?jǐn)?shù)即可求出。（具體程序見附件程序一）。 柯特斯系數(shù) kn01234567812345678，柯特斯系數(shù)出現(xiàn)負(fù)值，于是有：特別地，假定，且，則有：它表明初始數(shù)據(jù)誤差將會引起計算結(jié)果誤差增大，即計算不穩(wěn)定，故得牛頓柯特斯公式是不可用的。定理4 當(dāng)階為偶數(shù)時,對應(yīng)的NewtonCotes求積公式（）的代數(shù)精度至少有。證明 我們只要驗(yàn)證，當(dāng)為偶數(shù)時，牛頓柯特斯公式對的余項為零即可。由余項公式（），由于這里從而有引進(jìn)變換，并注意到，有：若為偶數(shù)，則為整數(shù)，再令，進(jìn)一步有：據(jù)此可以斷定，因?yàn)楸环e函數(shù)是個奇函數(shù)。證畢。下面我們給出一些常見的NewtonCotes公式及其余項:令, 即得梯形公式 .當(dāng)時,.令, 即得Simpson公式.當(dāng)時,令, 即得Cotes公式.當(dāng) 時，. 復(fù)合求積公式由定積分知識,定積分只與被積函數(shù)和積分區(qū)間有關(guān),而在對被積函數(shù)做插值逼近時,多項式的次數(shù)越高,對被積函數(shù)的光滑程度要求也越高,且會出現(xiàn)Runge現(xiàn)象。如時,NewtonCotes公式就是不穩(wěn)定的。因而,人們把目標(biāo)轉(zhuǎn)向積分區(qū)間,類似分段插值,把積分區(qū)間分割成若干小區(qū)間,在每個小區(qū)間上使用次數(shù)較低的求積公式,然后把每個小區(qū)間上的結(jié)果加起來作為函數(shù)在整個區(qū)間上積分的近似,這就是復(fù)合的基本思想。常用的復(fù)合公式有:復(fù)合梯形公式：將區(qū)間劃分為n等份，分點(diǎn),k=0,1,…,n在每個子區(qū)間(k=0,1,…,n1)上采用梯形公式，則得記當(dāng)時，根據(jù)定積分定義可知：故上述復(fù)合梯形公式是收斂的，且它的求積系數(shù)也是穩(wěn)定的。復(fù)合Simpson公式：. 逐次分半技術(shù)與Romberg公式如何確定適當(dāng)?shù)氖沟媒浦蹬c真值之差在允許范圍內(nèi),一般來說是比較困難的。而逐次分半技術(shù)是在求積過程中根據(jù)精度的要求,自動確定的選擇是否滿足精度要求,以二分后前后兩次之差來估計誤差,這樣既縮小了步長,又能保留原有的計算結(jié)果,減少計算量。對于復(fù)合梯形求積公式，若原來將區(qū)間分成n等分?，F(xiàn)將每個小區(qū)間對半劃分成更小的區(qū)間，在每個區(qū)間上應(yīng)用梯形公式。容易推導(dǎo)出以下公式：其中：.由復(fù)合梯形公式的余項知：假設(shè)變化不大，由此得到近似關(guān)系式：，容易驗(yàn)證：同理可得到：,.上述公式稱為Romberg公式. Romberg公式的加速效果是極其顯著的,在相同精度要求下,計算量較小。 Gauss型求積公式為進(jìn)一步提高求積公式的代數(shù)精度,可通過適當(dāng)選擇插值節(jié)點(diǎn)和求積系數(shù),使得代數(shù)精度最高達(dá)到。把求積節(jié)點(diǎn)和求積系數(shù)視為同等參數(shù)求解，既可利用方程組得到,也可借助正交多項式的零點(diǎn)來確定。一般可設(shè)個節(jié)點(diǎn)的求積公式為：. ()其中為求積系數(shù)，不依賴于,為求積節(jié)點(diǎn)，在式() 作為待定參數(shù)?？蛇x擇()使對精確成立，從而得到關(guān)于,的(2n+2)個參數(shù)的非線性方程組。例如，當(dāng)，時，求積公式為：當(dāng)=1，得。當(dāng)，得于是，可得求積公式：稱為中點(diǎn)求積公式，它的代數(shù)精確度為一次。例 當(dāng)=1時，試確定求積分公式的系數(shù)及節(jié)點(diǎn)，使它具有最高代數(shù)精確度。解 由代數(shù)精確度定義，公式對精確成立，由()得：通過第4式減去第2式乘得：由此得：。用乘以第1式減去第2式有：，用第3式減去乘第2式有：.用前一式代入得：由此得出與異號，即，從而有及.于是可取，再由方程組中的第1式得。于是有：從例題看到直接解方程組()計算太復(fù)雜，時一般都不易求解。但若先確定求積節(jié)點(diǎn)，則由()求出系數(shù)就容易了。下面先證明()求積公式的代數(shù)精確度最高為次。若令，則，而.說明()對次多項式不精確成立，故它的最高代數(shù)精確度為次.定義5 如果求積公式()具有次代數(shù)精度，則稱其節(jié)點(diǎn)(k=0,1,…,2n+1)為高斯點(diǎn)，相應(yīng)公式()稱為高斯型求積公式。定理5 插值型求積公式()的節(jié)點(diǎn)是高斯點(diǎn)的充分必要條件是區(qū)間上以這組節(jié)點(diǎn)為零點(diǎn)的多項式：與任何次數(shù)不超過的多項式帶權(quán)正交，即： （）證明 必要性。設(shè)，則，因此，如果是高斯點(diǎn)，則求積公式（）對于精確成立，即有因，故（）成立。再證明充分性。用除，記商為，余式為，即，其中。由（）可得： （）由于所給求積公式()是插值型的，它對于是精確成立的，即再注意到，知，從而由（）得到：.可見求積公式（）對一切次數(shù)不超過的多項式均精確成立。因此，為高斯點(diǎn)。證畢。根據(jù)此定理可知，高斯型求積公式的節(jié)點(diǎn)就是在上帶權(quán)正交多項式的零點(diǎn)，求積系數(shù)可直接由的插值多項式求出。而公式()的余項可通過的埃米爾特插值多項式得到，設(shè)為，滿足插值條件:.于是有兩端乘權(quán)函數(shù)，并從到積分，則得:其中右端第一項積分對次多項式精確成立，故由于，故由積分中值定理得()的余項為：.定理6 若()為高斯型求積公式，則其求積系數(shù)皆為正。證明 考察，它是n次多項式，因而是2n次多項式，故高斯求積公式()對于它能準(zhǔn)確成立，即有：，從而有求積系數(shù)皆為正。證畢。推論 高斯求積公式()是穩(wěn)定的。利用具有不同權(quán)函數(shù)的正交多項式, 就能得到不同類型的高斯型求積公式:GaussLegendre: .GaussChebyshe：.利用上述幾種公式,數(shù)值積分的近似計算問題已成功獲得解決。 GaussLegendre求積公式若，區(qū)間為［1，1］的求積公式:　　　　　　　　　　　　 　　 （）其中節(jié)點(diǎn)(k=0,1,…,n)是Legendre多項式:的零點(diǎn)，則（）稱為GaussLegendre求積公式。其中 這里是最高項系數(shù)為1的Legendre多項式。余項可由()得到:　 （）例如：當(dāng)=1時，則， ，它比Simpson公式的余項的絕對值還小，且比辛普森公式少算一個函數(shù)值。高斯型求積公式（）。 GaussLegendre求積節(jié)點(diǎn)與求積系數(shù)01177。2177。3177。177。4177。177。例 用四點(diǎn)(n=3)的Gauss求積公式計算先將區(qū)間變換為，令其中(準(zhǔn)確值) GaussChebyshev求積公式區(qū)間為，權(quán)函數(shù)的Gauss型求積公式，其節(jié)點(diǎn)是Chebyshev多項式的零點(diǎn)，即，而，于是得到　　　　　　　　 　　　 （）稱為GaussChebyshev求積公式，公式的余項為：　　　　　　　　　　　 （）這種求積公式可用于計算奇異積分。例 用三