【正文】 and method of numerical integration is always the putational mathematics basic topic.This paper first summarizes the basic ideas of numerical integration and some mon numerical integration formates, in addition, represents the general stability condition of numerical integration. Next, we propose an improvement twopoint gaussian formula based on the literature [10]. It has seventime algebraic precision essentially. Finally, the experimental results are represented, which indicate that our numerical format is superior in algebraic precision and numerical precision pared to the threepoint Gaussian formula in [10] and some of the other classical numerical format. and the formula is applied to the 2010 mathematical modeling problem A, achieved good results.Keywords: Numerical integral method ；Threepoint gauss formula ；Algebra precisionII重慶科技學(xué)院本科生畢業(yè)設(shè)計 目錄目錄摘要 IABSTRACT II1緒論 12數(shù)值積分的計算方法 2 數(shù)值積分的基本思想與評價指標(biāo) 2 幾種常用數(shù)值積分方法 5 插值型求積公式 5 NewtonCotes公式 6 復(fù)合求積公式 8 逐次分半技術(shù)與Romberg公式 9 Gauss型求積公式 10 GaussLegendre求積公式 13 GaussChebyshev求積公式 143改進三點Gauss公式 16 16 數(shù)值算例 17 2010年數(shù)學(xué)建模A題求解 184 結(jié)束語 28參考文獻 29致謝 30附錄 31重慶科技學(xué)院本科生畢業(yè)設(shè)計 1 緒論1緒論數(shù)值積分是求定積分的近似值的數(shù)值方法。接著，我們基于文獻[10]提出了一個改進的三點高斯公式，通過理論分析，此公式具有7次代數(shù)精度。 畢業(yè)設(shè)計（論文）作者（簽字）： 年 月 日重慶科技學(xué)院本科生畢業(yè)設(shè)計 摘要摘要求解函數(shù)在區(qū)間上的定積分時，如果被積函數(shù)在區(qū)間上原函數(shù)很難用初等函數(shù)表達，我們就不能夠借助牛頓萊布尼茲公式來計算此定積分。：任務(wù)書、開題報告、外文譯文、譯文原文（復(fù)印件）。、圖表要求：1）文字通順，語言流暢，書寫字跡工整，打印字體及大小符合要求，無錯別字，不準(zhǔn)請他人代寫2）工程設(shè)計類題目的圖紙，要求部分用尺規(guī)繪制，部分用計算機繪制，所有圖紙應(yīng)符合國家技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)規(guī)范。另外，許多實際問題中的被積函數(shù)往往是列表函數(shù)或其他形式的非連續(xù)函數(shù)，顯然其原函數(shù)沒有意義，所以對這類函數(shù)的積分，也不能用經(jīng)典的不定積分方法求解。最后，利用一個數(shù)值算例驗證了我們提出公式相比文獻[10]的兩點高斯公式無論是在代數(shù)精度還是在數(shù)值精度方面都有較大提高。即用被積函數(shù)的有限個抽樣值的加權(quán)平均近似值代替定積分的值。只要數(shù)值積分構(gòu)造得當(dāng)，就能很好的計算出某個定積分的近似值。由于以上原因，數(shù)值積分的理論與方法一直是計算數(shù)學(xué)研究的基本課題。因此，數(shù)值積分的理論與方法還是其他學(xué)科的理論依據(jù)。 在力學(xué)中的應(yīng)用，計算力做的功、位移、能量等作用。由此可以看出構(gòu)造高精度數(shù)值積分公式是十分必要的。形如： 為求積公式()的余項或誤差，及分別稱為求積公式()的求積節(jié)點及求積系數(shù)，這里求積系數(shù)只與積分區(qū)間有關(guān)，而與無關(guān)。定理1 任意給定個節(jié)點，如果是次數(shù)不超過的多項式，那么一定存在常數(shù)，使求積公式()精確成立，即：.證明 設(shè)是關(guān)于節(jié)點的次Lagrange插值多項式, 即：其中是Lagrange基函數(shù)，是Lagrange插值余項。證明 充分性上面已證. 現(xiàn)在來證必要性. 設(shè)求積公式為： () 的代數(shù)精度. 因為Lagrange基函數(shù)且有性質(zhì)：所以故求積公式()是插值型求積公式。定義表明只要計算被積函數(shù)的誤差充分小，則 的誤差限就可任意小，則求積公式()就是穩(wěn)定的。數(shù)值積分就是將求積分轉(zhuǎn)化為求，這樣不管被積函數(shù)多么復(fù)雜，它都能在計算機上機械實現(xiàn)。而穩(wěn)定性是研究的誤差積累，即當(dāng)計算有誤差時，只要誤差充分小，則誤差也任意小，這就是穩(wěn)定的。此時可由插值余項得到：稱為插值求積公式余項，這里ξ∈。 NewtonCotes公式設(shè)將積分區(qū)間劃分為等分，步長,令，選取等距節(jié)點,則Lagrange插值基函數(shù)為：求積系數(shù)可表示為：令：稱為Cotes系數(shù)，則求積公式可化為：那么牛頓柯特斯公式可表示為： （）若令,可得出. 記： （）稱()為NewtonCotes公式的截斷誤差。定理4 當(dāng)階為偶數(shù)時,對應(yīng)的NewtonCotes求積公式（）的代數(shù)精度至少有。下面我們給出一些常見的NewtonCotes公式及其余項:令, 即得梯形公式 .當(dāng)時,.令, 即得Simpson公式.當(dāng)時,令, 即得Cotes公式.當(dāng) 時，. 復(fù)合求積公式由定積分知識,定積分只與被積函數(shù)和積分區(qū)間有關(guān),而在對被積函數(shù)做插值逼近時,多項式的次數(shù)越高,對被積函數(shù)的光滑程度要求也越高,且會出現(xiàn)Runge現(xiàn)象。復(fù)合Simpson公式：. 逐次分半技術(shù)與Romberg公式如何確定適當(dāng)?shù)氖沟媒浦蹬c真值之差在允許范圍內(nèi),一般來說是比較困難的。容易推導(dǎo)出以下公式：其中：.由復(fù)合梯形公式的余項知：假設(shè)變化不大，由此得到近似關(guān)系式：，容易驗證：同理可得到：,.上述公式稱為Romberg公式. Romberg公式的加速效果是極其顯著的,在相同精度要求下,計算量較小?？蛇x擇()使對精確成立，從而得到關(guān)于,的(2n+2)個參數(shù)的非線性方程組。解 由代數(shù)精確度定義，公式對精確成立，由()得：通過第4式減去第2式乘得：由此得：。下面先證明()求積公式的代數(shù)精確度最高為次。再證明充分性。證畢。證畢。其中 這里是最高項系數(shù)為1的Legendre多項式。2177。177。得到求積節(jié)點以后，同樣可利用（）對精確成立，得到關(guān)于的線性方程組：解此方程組得到的求積公式系數(shù)，它是穩(wěn)定的，也是收斂的，具有較高的精度。在不增加節(jié)點數(shù)目的前提下為使兩點Gauss公式具有盡可能高的代數(shù)精度，文獻[10]提出對兩點Gauss公式進行如下改進： （）當(dāng)=1時，顯然（）式兩邊都相等。當(dāng)時，左邊=，右邊=令左邊=右邊，則可解得?，F(xiàn)在令時方程精確成立。 數(shù)值算例我們選擇積分作為數(shù)值算例, 其精確值可以很容易得到：選擇此算例的原因是由于可以計算出的精確值，所以我們可以比較方便和直觀的比較各種不同的數(shù)值積分計算公式的相對誤差。請利用罐體變位后在進/出油過程中的實際檢測數(shù)據(jù)（見附表1），根據(jù)你們所建立的數(shù)學(xué)模型確定變位參數(shù)，并給出罐體變位后油位高度間隔為10cm的罐容表標(biāo)定值。的計算第一種情況，時，但是罐體儲油體積不一定為零（如圖4），（圖4）我們計算此種情況的極限容量，采用體積微元法。油罐為圓柱體。利用圓缺的面積公式，圓缺的面積為：我們采用體積元素法，體積元素為：則在區(qū)間對體積元素求定積分，得： （）為了便于后面數(shù)值解法書寫方便，我們記：所以（15）式變?yōu)椋旱挠嬎阌捎谧筮吳蚬谂c右邊球冠的形狀相似，我們采用的計算方法，左邊低液面的高度設(shè)為，只要將（15）式中的換成,即可得。數(shù)值計算方法對于的計算，由于被積函數(shù)比較復(fù)雜，直接積分運算量比較大，因此我們采用數(shù)值計算的方法計算，由于計算式子類似，下面我們以為例進行計算說明。于是我們在固定區(qū)間進行搜索，尋找此區(qū)間內(nèi)的最優(yōu)解，取步長。五、誤差分析根據(jù)和附表一中的實際高度計算出相應(yīng)的體積。所以以其值來計算儲油罐的容量，并對不同高度給予容量標(biāo)定。然后，利用一個數(shù)值算例驗證了我們提出公式相比文獻[10]的兩點高斯公式以及其它的比較經(jīng)典的數(shù)值求積公式，無論是在代數(shù)精度還是在數(shù)值精度方面都有較大提高。[J].新疆財經(jīng)大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版）,2010,26(3):1719[13].張景中，[J].電子科技大學(xué)（自然科學(xué)版）,2010(10):153154[14].[J].蘇州工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版），14(4)：48—49[15].李海合，[J].水師范學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版）, 2009,25(9): 2022[16].[J].北電力大學(xué)學(xué)報,2010,23(3):11491159[17].陳佩寧，[J].石家莊職業(yè)技術(shù)學(xué)院（自然科學(xué)版）,2009,22(4):5658[18].鄭華盛，胡結(jié)梅，（自然科學(xué)版）,，16(3)重慶科技學(xué)院本科生畢業(yè)設(shè)計 致謝致謝非常感謝唐利明老師在我大學(xué)的最后學(xué)習(xí)階段——畢業(yè)設(shè)計階段給自己的指導(dǎo)，從最初的定題，到資料收集，到寫作、修改，到論文定稿他給了我耐心的指導(dǎo)和無私的幫助。在大學(xué)階段，我在學(xué)習(xí)上和思想上都受益非淺，這除了自身的努力外，與各位老師、同學(xué)和朋友的關(guān)心、支持和鼓勵是分不開的。我將銘記我曾是一名重慶科技學(xué)院學(xué)子，在今后的工作中把重慶科技學(xué)院