【正文】 ()其中為求積系數(shù)，不依賴于,為求積節(jié)點，在式() 作為待定參數(shù)。例如，當，時，求積公式為：當=1，得。例 當=1時，試確定求積分公式的系數(shù)及節(jié)點，使它具有最高代數(shù)精確度。用乘以第1式減去第2式有：，用第3式減去乘第2式有：.用前一式代入得：由此得出與異號，即，從而有及.于是可取，再由方程組中的第1式得。但若先確定求積節(jié)點，則由()求出系數(shù)就容易了。若令，則，而.說明()對次多項式不精確成立，故它的最高代數(shù)精確度為次.定義5 如果求積公式()具有次代數(shù)精度，則稱其節(jié)點(k=0,1,…,2n+1)為高斯點，相應(yīng)公式()稱為高斯型求積公式。設(shè)，則，因此，如果是高斯點，則求積公式（）對于精確成立，即有因，故（）成立。用除，記商為，余式為，即，其中。因此，為高斯點。根據(jù)此定理可知，高斯型求積公式的節(jié)點就是在上帶權(quán)正交多項式的零點，求積系數(shù)可直接由的插值多項式求出。證明 考察，它是n次多項式，因而是2n次多項式，故高斯求積公式()對于它能準確成立，即有：，從而有求積系數(shù)皆為正。推論 高斯求積公式()是穩(wěn)定的。 GaussLegendre求積公式若，區(qū)間為［1，1］的求積公式:　　　　　　　　　　　　 　　 （）其中節(jié)點(k=0,1,…,n)是Legendre多項式:的零點，則（）稱為GaussLegendre求積公式。余項可由()得到:　 （）例如：當=1時，則， ，它比Simpson公式的余項的絕對值還小，且比辛普森公式少算一個函數(shù)值。 GaussLegendre求積節(jié)點與求積系數(shù)01177。3177。4177。例 用四點(n=3)的Gauss求積公式計算先將區(qū)間變換為，令其中(準確值) GaussChebyshev求積公式區(qū)間為，權(quán)函數(shù)的Gauss型求積公式，其節(jié)點是Chebyshev多項式的零點，即，而，于是得到　　　　　　　　 　　　 （）稱為GaussChebyshev求積公式，公式的余項為：　　　　　　　　　　　 （）這種求積公式可用于計算奇異積分。解　這里，由GaussChebyshev求積公式（）可得：當=2時， ，求得：代入上式得：估計誤差可用余項表達式（），因，故當=3時， ，求得： 誤差：　　 .Gauss型求積公式是上帶權(quán)的求積公式（），它具有最高代數(shù)精確度，實際上由于求積系數(shù)及節(jié)點都是待定系數(shù)，它共有個，可使（）對任何2n+1次多項式精確成立，具有2n+1次代數(shù)精確度的求積公式節(jié)點就是Gauss點。通常使用的具體公式是GaussLegendre求積公式（簡稱Gauss求積公式），它是區(qū)間為，權(quán)函數(shù)為的公式，余項由表達式（）給出，當=1時可得，比（三點）simpson公式好，當n=2時可得比=4（五點）的Cotes公式好，而計算量卻減少。重慶科技學(xué)院本科生畢業(yè)設(shè)計 3改進三點Gauss公式 3改進三點Gauss公式文獻[5]給出了區(qū)間上兩點Gauss公式： （）考慮積分，利用變換可將區(qū)間變?yōu)椋e分變?yōu)椋浩渲?，利用公?)，可得： （）上述兩點Gauss公式（）具有3次代數(shù)精度。當時，左邊=，右邊=。當時，左邊=，右邊=。當，左邊=，右邊=令左邊=右邊，則可解得。 根據(jù)以上構(gòu)造思想，本文提出對三點高斯公式進行如下改進：()容易驗證，公式精確成立。可以解的：A=1/2016000，=(a+b)/2(具體程序見附件程序二)。通過分析，本文改進的三點高斯公式具有7次代數(shù)精度，并且求積系數(shù)都大于零，故我們改進的三點高斯公式是穩(wěn)定的。我們分別利用梯形公式、辛普森公式、兩點高斯公式、改進兩點高斯公式和本文提出的三點高斯公式數(shù)值計算，并對它們的代數(shù)精度與誤差進行了比較，（具體程序見附件程序三）。 2010年數(shù)學(xué)建模A題求解題目：對于圖1所示的實際儲油罐，試建立罐體變位后標定罐容表的數(shù)學(xué)模型，即罐內(nèi)儲油量與油位高度及變位參數(shù)（縱向傾斜角度a和橫向偏轉(zhuǎn)角度b ）之間的一般關(guān)系。油油浮子出油管油位探測裝置注油口檢查口地平線2m6m1m1m3 m油位高度圖1 儲油罐正面示意圖油位探針油位探針α 地平線圖2 儲油罐縱向傾斜變位后示意圖油油浮子出油管油位探測裝置注油口檢查口水平線圖3 儲油罐截面示意圖（b）橫向偏轉(zhuǎn)傾斜后正截面圖β地平線垂直線油位探針（a）無偏轉(zhuǎn)傾斜的正截面圖油位探針油位探測裝置3m重慶科技學(xué)院本科生畢業(yè)設(shè)計 3改進三點Gauss公式一、建立縱向變位時油位深度與油量的函數(shù)關(guān)系式計算儲油罐中油量的體積,我們將儲油罐分為三個部分，中間部分為圓柱體，兩端為球冠體。下面分別計算。圓缺面積為，則： （）其中是圓缺的半徑，圓缺的高度。記為： 第二種情況，當時，我們分以下具體情況進行討論：（1） 當時（如圖5），（圖5） （）記為：（2）當時（如圖6）：（圖6） （）記為：（3）當時（如圖7）， （圖7）此時計算油的體積，我們采用，其中是整個油罐圓柱體的容積，油罐中沒有盛油的部分，其中。其中； （）記為：（4）當時，極限容積為：的計算下面計算在右邊球冠中溶液的體積，以右端球冠的球心為坐標原點，建立三維坐標系，球的半徑，在直角三角形中，計算得。在點做垂直軸的平面，與油液面的公共部分如（圖8），（圖8）所在的圓的方程為：其中公共部分是圓缺，圓缺的高，圓缺的半徑。 （）為了便于后面數(shù)值解法書寫方便，我們記：所以（16）式變?yōu)椋涸谶M行數(shù)值求解時，我們觀察出實驗數(shù)據(jù)中且，于是我們放棄了計算中的第一種情況和第二種情況中的情況（4）。1）當； （）2）當， （）3）當時， （） 其中；；；；；。計算中采用本文改進三點高斯公式，即：則有：二、建立疊加了橫向變位的油位深度和縱向變位時油位深度的函數(shù)關(guān)系，其中與的位置關(guān)系（如圖9）所示，（圖9）可得函數(shù)關(guān)系為: （）綜合可得三、找出函數(shù)關(guān)系將帶入到第二步的中，得到油液容積與疊加了橫向變位的油位深度的函數(shù)（具體程序見附件程序四）：。即求解如下最小二乘擬合模型： 考慮到實際情況，油罐的縱向變位與橫向變位不會很大，我們假設(shè)。 算法描述： 第一步 賦初始值，定義步長； 第二步 。用最小二乘參數(shù)估計法得到的變位參數(shù)為：，（具體程序見附件程序五），角度都符合實際情況。并與實際體積對比，根據(jù)公式：計算出相對誤差（具體程序見附件程序六）。因此可以認為，是比較準確的。六、實際儲油罐罐容表的標定根據(jù)函數(shù)，計算不同時的標定值（具體程序見附件程序程序七）。接著，基于文獻[10]，我們提出了一個改進的三點高斯公式，此公式在文獻[10]的改進兩點高斯公式的基礎(chǔ)上，根據(jù)其思想類推出三點高斯公式的改進公式，理論分析說明我們改進三點高斯公式具有7次代數(shù)精度，并且是穩(wěn)定的。最后將該公式應(yīng)用到2010年數(shù)學(xué)建模A題的求解中，取得了比較好的結(jié)果。 重慶科技學(xué)院本科生畢業(yè)設(shè)計 參考文獻參考文獻[1].李慶揚,王能超,[M].北京：清華大學(xué)出版社，2008[2].邢誠，王建強，[J].武漢大學(xué)測繪學(xué)院學(xué)報，2010（2）:32[3].[M].合肥：～15[4].王世儒，王金金，馮有前，[M].西安：. 3～11，155～162[5].徐萃薇，孫繩武．計算方法引論[M]．北京：高教出版社．2002[6].黃明游,劉播,徐濤等《數(shù)值計算方法(第二版) [M].2005年6月 科學(xué)出版社 [7].林成森 《數(shù)值分析與實驗[M].2005年3月 科學(xué)出版社[8].劉鵬飛，徐乃楠．數(shù)值積分方法的比較教學(xué)研究與實驗[J].吉林師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院學(xué)報，2007(3):56[9].曹志浩，數(shù)值線性代數(shù)[M].上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，1996,50140[10].盛宗生，柳 靜. 一個改進兩點Gauss公式的推導(dǎo)及應(yīng)用[J].南陽理工學(xué)院學(xué)學(xué)報,2010(10):95[11].[J].武漢工業(yè)學(xué)院學(xué)報，2010，23(1):3032[12].買買提熱依木為了指導(dǎo)我們的畢業(yè)論文他放棄了自己的休息時間，他的這種無私奉獻的敬業(yè)精神令人欽佩，在此我向他表示我誠摯的謝意。正是由于他們，我才能在各方面取得顯著的進步，在此向他們表示我由衷的謝意，并祝所有的老師培養(yǎng)出越來越多的優(yōu)秀人才，桃李滿天下！通過這一階段的努力，我的畢業(yè)論文終于完成了，這意味著大學(xué)生活即將結(jié)束。在本論文的寫作過程中，我的導(dǎo)師唐利明老師傾注了大量的心血，從選題到開題報告，從寫作提綱，到一遍又一遍地指出每稿中的具體問題，嚴格把關(guān)，循循善誘，在此我表示衷心感謝。寫作畢業(yè)論文是一次再系統(tǒng)學(xué)習(xí)的過程，畢業(yè)論文的完成，同樣也意味著新的學(xué)習(xí)生活的開始。重慶科技學(xué)院本科生畢業(yè)設(shè)計 附錄附錄程序一、計算柯特斯公式的系數(shù)程序：function x=NewtonCotesxishu(n)。x=zeros(1,9)。for i=1:n+1 l=1。 end end x(i)=double((1)^(ni+1)/factorial(i1)/factorial(ni+1)/n*int(l,t,0,n))。for i=1:8 N(i,:)=NewtonCotesxishu(i)。f=((b^7a^7)/7(ba)/2*(((a+b)/2(ba)*sqrt(15)/10)^6*5/9+((a+b)/2)^6*8/9+((a+b)/2+(ba)*sqrt(15)/10)^6*5/9))/(ba)^7/720。B=simplify(g)程序三、數(shù)值算例程序clear。format long。a=0。c1=(a+b)/2。c3=sqrt(15)*(ba)/10。