抽屜原理及其應(yīng)用數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)設(shè)計(jì)畢業(yè)論文(編輯修改稿)
2025-09-06 10:48 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ?5于 ， ， ， ， 即存在一個(gè)整數(shù) ， 不屬于 ， ， ， ， .這P34 3212P345與將 1 至 326 之間的整數(shù)任意分為 5 部分的假定相矛盾.因此，. 高等代數(shù)中的應(yīng)用例 121221220nnnaxaxxx????????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??其中 ,證明存在不全為零的整數(shù)????,0,ijaij???? ?適合nx21,2? ??njni 2,12??證明 令 ， ，??2ijnAa??122nxXx?????????????0?O則該齊次線性方程組可寫成 A設(shè)集合 S={ }njnxXjn2,1,:21???????????? D={ :X S}??????????njjnjjjjxaxaAX21211??映射 = ,因?yàn)?{1，0，1}，所以:SDXAf?S??21n?ja1?對(duì)每個(gè) X S，它的 2n 個(gè)分量適合? 21221nijiiinaxaxx??? 122n?? ≤ （i=1,2, ,n）2n?因此 又??241D?? ???222()414nnn????根據(jù)抽屜原理.(映射形式設(shè) A 和 B 是兩個(gè)有限集，如果 那么對(duì)從 A 到 B 的任何滿映AB射 f，至少存在 , ,使 f( )=f( ).）1a21a2S 中至少存在兩個(gè)不同的元 ???????????????njjjniii xxXxx221221,??使 ,即 , .??jifxf?jiA??0??ji令 ，則 即是我們所要求的， 是????????????njijinxx221221??????????n221?? n2,1??不全為零的整數(shù)，且滿足.??nkjkikjkik 2,1??????例 7. 設(shè) 為 階方陣，證明存在 1 ，使秩( )=秩( )=秩AnniiA1?i ???)(2iA證明 因?yàn)?階方陣的秩只能是 這 +1 個(gè)數(shù)之一.,2,0 ?, 的個(gè)數(shù)多于秩的個(gè)數(shù)，由抽屜原理可知，存在 ,?E120,?n? E k滿足 1 使l?kl秩( )= 秩( ),kAl但秩( ) 秩( ) … 秩( ),k?1?k?lA所以秩( )=秩( ),kA1?k利用此式與秩的性質(zhì)得秩( ) 秩( )+秩( )秩( ),ABC?BC這里的 是任意三個(gè)可乘矩陣，用數(shù)學(xué)歸納法可證BA,秩( )=秩( ).mk?1?mkA其中 為非負(fù)整數(shù)，故命題的結(jié)論成立. 秩( )=秩( )=秩 . mi1?i ???)(2iA 抽象代數(shù)中的應(yīng)用例 :有限群中的每個(gè)元素的階均有限．證明 設(shè) G 為 n 階有限群，任取 a∈G，則由抽屜原理可知 中必231,naa??有相等的．不妨設(shè) 于是有 ，從而 a 的階有限．,11stasn????ste??例 R 必是域.證明 根據(jù)魏得邦定理，只需證明 R 是除環(huán)即可.(設(shè) 是環(huán)且 ，則 R 是除環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)對(duì) R 中任意元素 ，方程R1? ba,0?ax=b 或 ya=b 在 中有解) 在 R 中任取元素 .ba,0? 考慮 ???,211 ???iRyNtt 易知， 都是 的理想.?,32 但由于整環(huán) R 只有有限個(gè)理想，根據(jù)抽屜原理. 必存在正整數(shù) s 與 t 滿足 st. .tssRaba?? 從而存在 c∈R,使 或 .tcba?cst??)(1 即方程 ax=b 在 R 中有解 .xst? 根據(jù)定理,R 是除環(huán). 由魏得邦定理，原命題得證.抽屜原理不僅在高等數(shù)學(xué)中具有廣泛應(yīng)用，在我們的實(shí)際生活中，也能處、賽程安排、資源分配、職稱評(píng)定等等，都不難看到抽屜原理的作用.其實(shí)早在中國古代的春秋戰(zhàn)國時(shí)期就有了運(yùn)用抽屜原理的例子，那就是《晏子春秋》中的“二桃殺三士”的典故，將兩個(gè)桃子賞賜給三名勇士，在這里可以將桃子看作抽屜，三個(gè)人作為元素放進(jìn)抽屜，則根據(jù)抽屜原理，一定有一個(gè)抽屜要放入兩個(gè)或兩個(gè)以上的元素，回到問題情境中就是一定要有兩個(gè)人吃一個(gè)桃子，導(dǎo)致這三名勇士最后自相殘殺而亡，這就是著名的“二桃殺三士”.后來宋朝時(shí)期費(fèi)袞在他的《梁谿漫志》中就曾運(yùn)用抽屜原理來駁斥但是流行的“算命”一說，費(fèi)袞指出算命是把一個(gè)人出生的年、月、日、時(shí)作為依據(jù)，把這些作為“抽屜” ，則不同的抽屜有 1236060＝259200 為“物品” ，則進(jìn)入同一抽屜的人有成千上萬個(gè)，因此“生時(shí)同者必不為少矣”.既然“八字”相同， “又何貴賤貧富之不同也？這是大基數(shù)的社會(huì)現(xiàn)象，常給人感覺世事很奇巧，碰到同生日、同名的人，活中也有常見的抽屜原理的應(yīng)用之處，如“搶凳子”游戲，一群人搶凳子，凳子數(shù)比人少，必然淘汰一些人,又或者是 13 個(gè)人中總有 2 人是同一個(gè)月份出生，52 張撲克牌中取出 5 張總有 2 張花色相同，在 100 米長的小路上種 101 棵小樹，不管怎么種，至少有兩棵樹苗之間的距離不超過 1 米等等. 下面我們?cè)賮砜磶讉€(gè)例子.例 11 名學(xué)生到老師家借書，老師是書房中有 A、B、C、D 四類書，每名學(xué)生最多可借兩本不同類的書，型相同.證明 若學(xué)生只借一本書，則不同的類型有 A、B、C、D 四種；若學(xué)生借兩本不同類型的書，則不同的類型有 =6 種，即 AB、AC、AD、BC、BD、 1023?C種類型. 把這 10 種類型看作 10 個(gè)“抽屜”，把 11 個(gè)學(xué)生看作 11 個(gè)“物品”.那個(gè)學(xué)生借了哪種類型的書，就將其放入對(duì)應(yīng)的那個(gè)抽屜里. 根據(jù)抽屜原理， . 所以，????????例 、排球和籃球，某班 50 名同學(xué)來倉庫拿球，規(guī)定每個(gè)人至少拿 1 個(gè)球，至多拿 2 個(gè)球，問至少有幾名同學(xué)所拿的球種類是一致的？解首先來看具體的拿球的配組方式，有以下9種：｛足｝ ， ｛排｝ ， ｛籃｝ ， ｛足，足｝ ， ｛排，排｝ ， ｛籃，籃｝ ， ｛足，排｝ ， ｛足，籃｝ ，｛排，籃｝. 把這9種配組方式看作9個(gè)抽屜,則根據(jù)抽屜原理，有 61950???????? 所以至少有6名同學(xué)所拿的球的種類是完全一樣的.例 5 個(gè)班，每班一支球隊(duì)在同一塊場地上進(jìn)行單循環(huán)賽, 共要進(jìn)行 10 場比賽. 則各隊(duì)每兩場比賽中間至少隔多少場才最公平呢？下面是隨便安排的一個(gè)賽程: 記 5 支球隊(duì)為 A, B, C, D, E，在下表左半部分的右上三角的 10 個(gè)空格中, 隨手填上 1,2,…，10, 就得到一個(gè)賽程, 即第 1 場 A 對(duì) B, 第 2 場 B 對(duì) C,…, 第 10 場 C 對(duì) E. 表的右半部分是各隊(duì)每兩場比賽間相隔的場次數(shù), 顯然這個(gè)賽程對(duì) A, E 有利, 對(duì) D 則不公平.答案是 .2????????n證明因 ，所以分兩種情況討論.?????????????時(shí)當(dāng) 時(shí)當(dāng) 12,21mnn1）當(dāng) n=2m 為偶數(shù)時(shí)，這 2m 支球隊(duì)為 0，1，2，…， （2m1）.順次安排（m+1）場比賽需要 2（m+1）支球隊(duì)參賽，由抽屜原理，必然有重復(fù)出現(xiàn)的球
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