【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 域?yàn)?D ,若點(diǎn) ),( yx D? ? ),( axay ?? ，則 D 關(guān)于 axy ?? 對(duì)稱，稱點(diǎn) ),( yx 與 ),( axay ?? 是關(guān)于 axy ?? 的對(duì)稱點(diǎn) .若點(diǎn) ),( yx D? ? ),( xaya ?? D? ，則 D 關(guān)于直線 zy ?? 對(duì)稱） 注釋：空間區(qū)域關(guān)于平行于坐標(biāo)面的平面對(duì)稱；平面曲線關(guān)于平行于坐標(biāo)軸的直線對(duì)稱；平面曲面以平行于坐標(biāo)面對(duì)稱，也有以上類似的定義 . 第 9 頁 共 19 頁 定理 1：設(shè) )(xf 在區(qū)間 [ aa,? ]上可積： 若 )(xf 為奇函數(shù)，則 0)( ??? dxxfaa。 若 )(xf 為偶函數(shù)，則 dxxfdxxf aaa ?? ?? 0 )(2)( 證明（ 1）當(dāng) )( xf 為奇函數(shù)時(shí)：令 tx?? 則 dxxfaa?? )( ??? ??? ??????? aaaaaa dxxfdttftdtf )()()()( 所以： 2 dxxfaa?? )(=0 即 dxxfaa?? )(=0. 當(dāng) )(xf 是偶函數(shù)時(shí)： dxxfaa?? )( ? ??0 )(a xf +?a xf0 )( ? ?? ???? aa dxxftdtf 00 )()()( dxxfdttf aa ?? ? 00 )()( 。 所以 dxxfaa?? )( 2? ?a xf0 )( 。 例 1：計(jì)算 積分 ? ?? ??20 cos2 d 解：令 x???? 則 ? ?? ??20 cos2 d ???? ??????? ???? ? xdxxdx c os2)c os (2 其中 xxf cos2 1)( ?? 為偶函數(shù)， 則 ? ?? ??20 cos2 d ???? ??????? ???? ? xdxxdx c os2)c os (2 ?? ???????? 0 c os22c os2 xdxxdx。 令 tx?2tan ，則； ???????????? ??????? dttttdttttxdx022202220112114112122c os22 ? 323a rc t a n314314 00 2 ???? ????? ttdt 。 二重積分的對(duì)稱性定理 定理 1： 設(shè)有界閉區(qū)域 21 DDD ?? , 1D 與 2D 關(guān)于 y 或 x 軸對(duì)稱 .設(shè)函數(shù) ),( yxf 在有界閉區(qū)域 D 上連續(xù)，那么 第 10 頁 共 19 頁 （?。┤?),( yxf 是關(guān)于 y （或 x ） 的奇函數(shù)，則 ??1),(D dyxf ? =0 （ⅱ） 若 ),( yxf 是關(guān)于 y （或 x ）的偶函數(shù)，則 ?dyxfD?? ),(=2??1),(D dyxf ? 1(?i ， )2 注釋： 設(shè)函數(shù) ),( yxf 在有界閉區(qū)域 D 上連續(xù) （?。┤?D 關(guān)于 y 軸對(duì)稱，則 ?? ????????DDxyxfdyxfyxfdyxf!),(),(2),(,0),(為偶函數(shù)關(guān)于變量，如果關(guān)于變量為奇函數(shù)如果?? 其中 1D 是 D 的右半部分 : 1D = }0|),{( ?? xDyx （ ii） 若 D關(guān)于 x軸對(duì)稱，則 ?? ????????DDyyxfdyxfyxfdyxf2),(),(2),(,0),(為偶函數(shù)關(guān)于變量，如果關(guān)于變量為奇函數(shù)如果?? 其中 2D 是 D 的上半部分： 2D = }0|),{( ?? yDyx 定理 2： 設(shè)有界閉區(qū)域 D 關(guān)于 x軸和 y 軸均對(duì)稱，函數(shù) ),( yxf 在 D 上連續(xù)且 ),( yxf關(guān) x 和 y 均為偶函數(shù)，則 ?? ???D D dyxfdyxf 3 ),(4),( ?? 其中 3D 是 D 的第一象限的部分： 3D = }0,0|),{( ??? yxDyx 定理 3： 則設(shè)有界閉區(qū)域 D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，函數(shù) ),( yxf 在 D 上連續(xù)，則?? ?? ??????? ???? ?????DD Dyxfyxfdyxfdyxfyxfyxfdyxf1 2),(),(,),(2),(2),(),(,0),(如果如果??? 其中 1D = }0|),{( ?? xDyx ， 2D = }0|),{( ?? yDyx 例 1：計(jì)算 ??D xydxdy，其中 D由下列雙紐線圍成： (1) )(2)( 22222 yxyx ??? (2) xyyx 2)( 222 ?? 解：（ 1）由于 )(2)( 22222 yxyx ??? 圍成的區(qū)域關(guān)于 x軸 y軸均對(duì)稱，而被積函數(shù) 第 11 頁 共 19 頁 xy 關(guān)于 x （或 y 軸）為奇函數(shù) 則有 ??D xydxdy0? （ 2）由 )(2)( 22222 yxyx ??? 圍成的區(qū)域?qū)ΨQ于原點(diǎn)，而被積函數(shù) xy 是關(guān)于x ,y 的偶函數(shù) 則有 ??D xydxdy=2 ??1D xydxdy 由極坐標(biāo)知 ?? sin,co s ryrx ?? ，代入 xyyx 2)( 222 ?? 得 ?2sin?r 且由 xy 0? ，知 02sin21 2 ??r 則 20 ???? 于是 ??D xydxdy= 61c os2s i n2 20s in0 3 ?? ? drrd ???? ? 定理 4： 設(shè)有界閉區(qū)域 D關(guān)于 xy? 對(duì)稱 , 函數(shù) ),( yxf 在 D 上連續(xù)，則 ?dyxfD?? ),( =??1),(D dyxf ? 例 2：設(shè)函數(shù) f(x) 在 ]1,0[ 上的正值連續(xù)函數(shù) 證明： )(21)()( )()( badx dyyfxf ybfxafD ??????，其中 ba, 為常數(shù)， 1}yx,0|y){ ( x ,D ??? 證明：∵積分區(qū)域 D關(guān)于 xy? 對(duì)稱 ∴ ?dyxfD?? ),(=??D dxyf ?),( 設(shè) dx dyyfxf ybfxafI D?? ??? )()( )()(由函數(shù)關(guān)于兩個(gè)變量 dx dyyfxf ybfxafI D?? ??? )()( )()( ，以上兩式相 ,得 ?? ???? D badx dybaI )(2 ，從而 )(21 baI ?? 一般地，有以下定理： 定理 5：設(shè)有界閉區(qū)域 21 DDD ?? ， 1D 與 2D 關(guān)于直線 0: ??? cbyaxL 對(duì)稱， 第 12 頁 共 19 頁 函數(shù) ),( yxf 在 D 上連續(xù)，那么： （?。┤?),( yxf 是關(guān)于直線 L 的奇函數(shù)，則 ?dyxfD?? ),(0? （ⅱ）若 ),( yxf 是關(guān)于直線 L 的偶函數(shù)，則 ?dyxfD?? ),(=2??1),(D dyxf ? 1(?i ， )2 三重積分 空間對(duì)稱區(qū)域 若對(duì) ,),( ??? zyx ,),( ??? zyx 則稱空間區(qū)域 ? 關(guān)于 xoy 面對(duì)稱，利用相同的方法，可以定義關(guān)于另外兩個(gè)坐標(biāo)面的對(duì)稱性。 若對(duì) ,),( ??? zyx ????? ),( zyx ，則稱空間區(qū)域 ? 關(guān)于 z 軸對(duì)稱；利用相同的方法，可以定義關(guān)于 另外兩個(gè)坐標(biāo)面的對(duì)稱性。 若對(duì) ,),( ??? zyx ,),( ?????? zyx 則稱 ? 關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱。 空間對(duì)稱區(qū)域上的奇偶函數(shù) 設(shè) ),( zyxf 是定義在空間區(qū)域 ? 上的三元函數(shù)。 若滿足關(guān)系式 ),(),( zyxfzyxf ??? ，則稱 ,( zyxf 是關(guān)于 z 的奇函數(shù)；滿足關(guān)系式),(),( zyxfzyxf ?? ，則稱 ),( zyxf 是關(guān)于 z的偶函數(shù)。利用相同的方法，可以定義關(guān)于 x 或 y 的奇、偶函數(shù)的定義。 若滿足關(guān)系式 ),(),( zyxfzyxf ???? ，則稱 ),( zxf 是關(guān)于 x， y 的奇函數(shù)；滿足關(guān)系式 ??? ),( zyxf ),( zyxf ，則稱 ),( zyxf 是關(guān)于 x， y 的偶函數(shù)。利用相同的方法可以定義關(guān)于 y， z 或 z， x的奇、偶函數(shù)的定義。 若滿足關(guān)系式 ???? ),( zyxf ),( zyxf? ,則稱 ),( zyxf 是關(guān)于 x， y， z 的奇函數(shù)；滿足關(guān)系式 ???? ),( zyxf ),( zyxf ，則稱 ),( zyxf 是關(guān)于 x， y， z的偶函數(shù)。 3 奇偶函數(shù)在空間對(duì)稱區(qū)域上的積分 若空間區(qū)域 ? 關(guān)于 xoy 面對(duì)稱，則當(dāng) f 在 ? 上是 z 的奇函數(shù)時(shí)， dvzyxf???? ),(=0；當(dāng)),( zyxf 在 ? 上是 z 的偶函數(shù)時(shí)， dvzyxf???? ),(=2 dvzyxf????1 ),(，其中 1? 是在 xoy 面 第 13 頁 共 19 頁 上側(cè)的部分。 若空間區(qū)域 ? 關(guān)于 z軸對(duì)稱，則當(dāng) ),( zyxf 在 ? 上是 x， y的奇函數(shù)時(shí)， dvzyxf???? ),(=0；當(dāng) ),( zyxf 在 ? 上是 x， y的偶函數(shù)時(shí)， dvzyxf???? ),(=2 dvzyxf????1 ),(