【文章內容簡介】 ??? mmmf . (3)由題設 ? ? ? ?? ?2122 31131 xxxxxmxxxxf ?????????? ?????, 所以方程 0131 22 ????? mxx 由兩個相異的實根 21,xx ，故 321 ??xx ， 且 ? ? 01341 2 ????? m ，解得 ? ? 21,21 ??? mm 舍 , 因為 12332,221221 ?????? xxxxxx 故所以. 若 ? ? ? ?? ? 011311,12121 ??????? xxfxx 則，而 ? ? 01 ?xf ，不合題意 . ? ? 0,0,1 212121 ??????? xxxxxxxxx 有則對任意的若 , ? ? ? ?? ? ? ? 0031 121 ?????? xfxxxxxxf 又則 ，所以函數 ? ? ? ?21 , xxxxf ?在 的最小值為 0，于是對任意的 ? ? ? ? ? ?1, 21 fxfxxx ?? ，恒成立的充要條件是 ? ? 0311 2 ??? mf , 解得3333 ??? m . 綜上， m 的取值范圍是 ???????? 33,21 . 數學與統(tǒng)計學院 2020 屆畢業(yè)論文 10 導數在數列中的應用 例 16 求數列 12 ...,3,2,1 ?nnxxx 的和 (其中 1,0 ?? xx )． 分析 這道題可以用錯位相減法求和，但若用導數方法運算會使問題更加簡明． 解 注意到 nn xnx 是1? 的導數，即 ? ? 1??? nn nxx ，可先求數列 ??nx 的前 n 和．當 1,0?x 時 . xxxxxxxxx nnn ????????? ?11 )1( 12 ? ， 然后等式兩邊同時對 求導，有 12321 ????? nnxxx ? 21)1( )1]()1(1[ x xxxxn nn ? ?????? ? 21 )1( 1)1( x xnnx nn ? ???? ? . 例 17 已知首項 1a 與公差 d 都是正整數的等差數列 }{na 滿足對任意 Nn? ，都有4??nan ，（ 1）求數列 }{na 的前 n 項的和 NS ；（ 2）求數列nnS Sn 52)10( ?? 的最小項． 分析 這道題第 2 問可以把數列看成函數，求導得極小值即是所求的項． 解 因 ?? ????? NdnaaNda n )1(, 11 ，而 )1)(()1( 121 ddanddnaa n ??????? 4??n 對 Nn? 恒成立， 所以 12?d , 4)1)(( 1 ??? dda ,則 31?a , 1?d ,故 )5(213 2 )1( ???? ? nnnS nnn . （ 2）設nnS Snnf n n352 )10()10()( ???? ?, )5()10(2)10()10(3)(39。 2 22 32 ??????? nnnn nnnnf . 當 1? n? 5 時， 0)(39。 ?nf ，當 5?n 時， 0)(39。 ?nf ， 故 675)5()( m in ?? fnf . 數學與統(tǒng)計學院 2020 屆畢業(yè)論文 11 導數在代數式中的應用 用微積分知識證明恒等式的實質是將等式問題轉化成函數問題，進而求導證明恒等關系，依據 cxgxfxgxf ???? )()()(39。)(39。 ． 例 18 證明 ???? 2c osc os3c oss in3s in 333 ?? a 證 設 ??? 33 c o s3c o ss in3s in)( axf ?? xxg 2cos)( 3? xxxxxxxxxxxf 3s i nc o s33c o ss i nc o s3c o ss i n3s i n3s i n3c o s3)(39。 3223 ???? xxxxxx 2c o sc o s3s in32c o ss in3c o s3 ??? xx 4s in2c os3?? xx 2s in2c os6 2?? . xxxg 2s in2co s6)(39。 2?? 故 cxgxfxgxf ???? )()()(39。)(39。 , 又 0?x 時， 1)0()0( ??gf ．從而 039。?C ，因此)()( xgxf ? ．原題得證． 導數在不等式中的應用 利用導數研究函數的單調性，再由單調性來 證明不等式是函數、導數、不等式綜合中的一個難點，也是近幾年高考的熱點．其主要思想是構造輔助函數，把不等式的證明轉化為利用導數研究函數的單調性或求最值，從而證得不等式． 例 19（ 07 年全國一卷理科） 設函數 ( ) e exxfx ???． )1( 證明 ()fx的導數 2)(39。 ?xf ； )2( 若對所有 0?x 都有 axxf ?)(39。 ，求 a 的取值范圍． 解 )1( ()fx的導數 ( ) e exxfx ?? ??,由于 22 ??? ?? xxxx eeee ， 故 2)(39。 ?xf ．（當且僅當 0x? 時，等號成立） . )2( 令 ( ) ( )g x f x ax??，則 ( ) ( ) e exxg x f x a a???? ? ? ? ?. 1 若 2?a ，當 0x? 時， 02)(39。 ?????? ? aaeexg xx ， 故 ()gx在 (0 )?， ∞ 上為增函數， 數學與統(tǒng)計學院 2020 屆畢業(yè)論文 12 所以， 0?x 時， )0()( gxg ? ，即 axxf ?)( ． 2 若 2a? ，方程 ( ) 0gx? ? 的正根為 21 4ln 2aax ???， 此時，若 1(0 )xx? ， ，則 ( ) 0gx? ? ，故 ()gx在該區(qū)間為減函數． 所以， 1(0 )xx? ， 時， ( ) (0) 0g x g??，即 ()f x ax? ，與題設 axxf ?)( 相矛盾． 綜上，滿足條件的 a 的取值范圍是 ? ?2?∞ ， ． 生活優(yōu)化問題舉例 例 20 用長為 cm90 ，寬為 cm48 的長方形鐵皮做一個無蓋容器，先在四角分別截取一個小正方形，后把四邊翻轉 90 度角，在焊接而成，問該容器的為多時 ，容器的容積最大？最大容積是多少？ 解析 利用導數求最值時，建立函數關系式 .把實際問題轉化為數學問題，建立數學模型，注意自變量的取值范圍 . 解 設容器高為 xcm 容器的容積為 cxv )( 3m ， 則 ? ? ? ?? ?xxxxv 248290 ??? ? ?2404 3 2 02 7 64 ????? xxxx 求 ??xv 導數，得 432055212)(39。 ??? xxxv ? ?3604612 ??? xx ? ?? ?361012 ??? xx 令 ? ? 0??xv ,得 36,10 21 ?? xx （舍去） 當 100 ??x 時， ? ? 0??xv ，那么 ??xv 為增函數 . 當 2410 ??x 時， ? ? 0??xv 那么 ??xv 為減函數 . 因此，在定義域 )24,0( 內，函數只有當 x 取得 10 時有最大值，其最大值為 ? ? ? ?? ? 31 9 0 0204820901010 cmv ????? . 數學與統(tǒng)計學院 2020 屆畢業(yè)論文 13 答 當容器的高為 cm10 時，容器的容積最大，最大容積為 cm1900 3 . 例 21（ 2020 年山東卷） 某企業(yè)擬建造如圖所示的容器（不計厚度，長度單位：米），其中容器的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，按照設計要求容器的容積為 803? 立方米，且 2lr? .假設該容器的建造費用僅與其表面積有關 .已知圓柱形部分每平方米建造費用為 3 千元，半球形部 分每平方米建造費用為 ( 3)cc? 千元 .設該容器的建造費用為 y 千元 . ??1 寫出 y 關于 r 的函數表達式，并求該函數的定義域； ??2 求該容器的建造費用最小值時的 r . 解 ??1 設容器的容積為 V . 由題意知 2343V r l r????，又 803V ?? ， 故 32 2 24 8 0 4 4 2 03()3 3 3Vrl r rr r r???? ? ? ? ? 由于 2lr? ， 因此 02r?? . 所以建造費用 2224 2 02 3 4 2 ( ) 3 43y r l r c r r r cr? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?. 因此 2 1604 ( 2 ) , 0 2y c r rr ??? ? ? ? ? ??2 由 ??1 得， 3221 6 0 8 ( 2 ) 2 039。 8 ( 2 ) ( ) , 0 22cy c r r rr r c??? ?? ? ? ? ? ? ??. 由于 3c? ，所以 20c?? ，當 3 20 02r c??? 時， 3 202r c? ?,令 3 202rmc???，則 0m? , 所以 2228 ( 2 )39。 ( ) ( )cy r m r r m mr? ?? ? ? ?. 1 當 02m??即 92c? 時，當 rm? 時， 39。0y? 。 當 (0, )rm? 時， 39。0y? 。 當 ( ,2)rm? 時， 39。0y? . 所以 c=2 是函數 y 的極小值點，也是最小值點 . 2 當 2m? 即 93 2c?? ,當 (0,2)r? 時， 39。0y? ，函數單調遞減， 所以， 2r? 是函數 y 的最小值點 . 數學與統(tǒng)計學院 2020 屆畢業(yè)論文 14 綜上所述，當 93 2c?? 時，建造費用最小時 2r? . 當 92c? 時，建造費用最小時 3 202r c? ?. 【規(guī)律方法】 再求 實際問題中的最大值或最小值時，確定自變量，因變量，建立 數關系式，并確定 . 恒成立性問題的應用 例 22 (2020 安徽卷 ) 設 0?a ， 1ln2ln)( 2 ??? xaxxf )0( ?x ??1 令 )(39。)( xxfxF ? ，討論 )(xF 在 ),0( ?? 內的單調性并求極值 . ??2 求證 當 1?x 時，恒有 1ln2ln 2 ??? xaxx . 解 ??1 根據求導法則得 .0,2In21)( ????? xxax xxf 故 ,0,2In2)()( ?????? xaxxxxfxF 于是 .0,221)( ?????? xxxxxF 列表如下 x )2,0( 2 ),2( ?? )(39。 xF ? 0 + )(xF ↓ 極小值 )2(F ↑ 故知 )(xF 在 )2,0( 內是減函數，在 ),2( ?? 內是增函數，所以，在 2?x 處取得極小值aF 22ln2)2( ??? . ??2 證明 由 .022In2)2()(0 ????? aFxFa 的極小值知， 于是由上表知，對一切 .0)()(),0( ?????? xxfxFx 從而當 .,0)(,0)(0 ）內單調增加在（故時，恒有 ????? xfxfx 所以 當 .0In2In1,0)1()(1 2 ??????? xaxxfxfx 即時， 數學與統(tǒng)計學院 2020 屆畢業(yè)論文 15 故 ,當 .1In2In1 2 ????