【正文】 求 ??xv 導(dǎo)數(shù)，得 432055212)(39。0y? . 所以 c=2 是函數(shù) y 的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn) . 2 當(dāng) 2m? 即 93 2c?? ,當(dāng) (0,2)r? 時(shí)， 39。 ?f 或)( )()()( )()( 39。39。 ?xg 在 R 上恒成立， 故 函 數(shù) g(x) 在 R 上 為 增 函 數(shù). 2 當(dāng) 4 4 0 ,k? ? ? ? 即 當(dāng) k=1 時(shí) ， 222( 1 )( ) 0 ( 0 )()xexg x xxk?? ? ? ?? 1?k 時(shí)， )(xg 在 R 上為增函數(shù) . 3 當(dāng) ,044 ?? k 即 10 ??k 時(shí)， 方程 2 20x x k? ? ? 有兩個(gè)不相等實(shí)根 , 121 1 , 1 1x k x k? ? ? ? ? ?. 當(dāng) ( , 1 1 ) ( ) 0 , ( ) , 1 1 )x k g x g x k?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?是 故 在 （ 上 為 增函數(shù) . 當(dāng) 1 1 ,1 1x k k? ? ? ? ?（ ）時(shí)， ( ) 0,gx? ? 故 ( ) 1 1 ,1 1g x k k? ? ? ?在 （ ）上為減函數(shù) , 11xk? ? ? ?（ ， + ）時(shí)， ( ) 0,gx? ? 故 ( ) 1 1g x k? ? ?在 （ ， + ）上為增函數(shù) . 例 36（ 2020 年全國(guó)卷） 已知函數(shù) .11)( axexxxf ???? ??1 設(shè) 0?a ，討論 )(xfy? 的單調(diào)性； ??2 若對(duì)意 )1,0(?x 恒有 1)( ?xf ，求 a 的取值范圍 . 解 ??1 )(xf 的定義域?yàn)?)( ).,1()1,( xf對(duì)????? 求導(dǎo)數(shù)得 axex aaxxf ?? ???? 22 )1( 2)( . 1 當(dāng) 2?a 時(shí)， ),0,()(,)1( 2)( 22 ?????? ? 在xfexxxf x)1,0( 和 ),1( ?? 均大于 0，所以),1( ),1,()( ????在xf 為增函數(shù) . 2 當(dāng) ,20 時(shí)??a )(,0)( xfxf ?? 在 )1,(?? ， ),1( ?? 為增函數(shù) . 3 當(dāng) .12,02 ???? aaa 時(shí) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 2020 屆畢業(yè)論文 25 令aaxaaxxf 2,2 ,0)( 21 ??????? 解得, 當(dāng) x 變化時(shí)， )()( xfxf 和? 的變化情況如下表 x )2,( aa???? )2,2( aaaa ??? )1,2( aa? ),1( ?? )(xf? + － + + )(xf ↗ ↘ ↗ ↗ ),1,2( ),2,()( aaaaxf ?????在 ),1( ?? 為增函數(shù) , )2,2()( aaaaxf ???在 為減函數(shù) . ??1 當(dāng) 20 ??a 時(shí)，由 ??1 知：對(duì)任意 )1,0(?x 恒有 .1)0()( ?? fxf ??2 當(dāng) 2?a 時(shí)，取 )1,0(2210 ??? aax，則由 ??1 知 .1)0()( ?? fxf ??3 當(dāng) 0?a 時(shí)，對(duì)任意 )1,0(?x ，恒有 1111 ???? ?axexx 且 ， 得 .11111)( ??????? ? xxexxxf ax 綜上當(dāng)且僅當(dāng) ]2,(???a 時(shí)，對(duì)任意 )1,0(?x 恒有 .1)( ?xf 6 小結(jié) 微積分在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中 有更廣泛的用途， 本文主要?dú)w納了微積分在在解救高中數(shù)學(xué)那個(gè)的幾種方法 ，也需要更全面地探索 應(yīng)用方法 ．高中階段微積分的應(yīng)用是體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的價(jià)值，既給學(xué)生提供了一種新的方法，又給學(xué)生提供了一種重要的思想，也為今后進(jìn)一步學(xué)好微積分打下基礎(chǔ)．相對(duì)于對(duì)代數(shù)和幾何等經(jīng)典內(nèi)容已經(jīng)臻于完善的教學(xué)研究，微積分的教學(xué)研究還不成熟，處于摸索的階段．但也正因?yàn)槿绱?，探討微積分的教學(xué)才更有價(jià)值和意義 . 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 2020 屆畢業(yè)論文 26 參考文獻(xiàn) [1] 劉紹學(xué)，錢佩玲 ， 章建躍等 .普通高等課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)選修 [M].北京： 人民教育出版社，2020. [2] 崔樹(shù)敬 .立體設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)選修 [M].蘭州： 甘肅教育出版社， 2020 [3] 任志鴻，齊玉娟，李波 等 . 十年高考 [M]. 南方出版社， 2020. [4] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)編 . 數(shù)學(xué)分析 （ 第三版上 ） [M]. 北京 : 高等教育出版社 , 2020 [5] 陳少真 .高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ) [M].北京 :科學(xué)出版社 ,2020 [6] 顏松遠(yuǎn) .微積分學(xué) [M].北京 :清華大學(xué)出版社 ,2020 [7] 孫淑玲 .應(yīng)用數(shù)學(xué)與計(jì)算 [M].北京 :清華大學(xué)出版社 ,2020 [8] 陳魯生 ,沈世鎰 .五年制高等職業(yè)教育教材數(shù)學(xué) [M].北京 :科學(xué)出版社 ,2020 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 2020 屆畢業(yè)論文 27 致 謝 在經(jīng)過(guò)將近半年的努力后 ,本畢業(yè)論文即將告以尾聲 ,本文從選題到資料的收集以及撰寫(xiě)過(guò)程都經(jīng)過(guò)精心地考慮、仔細(xì)地查閱和細(xì)心的修改 .在此 ,我首先要感謝我的指導(dǎo)教師謝保利老師 ,不管是論文的選題還是撰寫(xiě) ,以及資料的查閱等方面 ,他都給了我莫大的幫助與啟發(fā) ,尤其是在論文的幾次修改過(guò)程中 ,謝老師以他廣博的學(xué)識(shí)、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)精神和耐心的指導(dǎo)態(tài)度才使我的論文順利完成 .再次謹(jǐn)向謝老師致以誠(chéng)摯的謝意和崇高的敬意 . 同時(shí) ,我要對(duì)編撰本論文參考文獻(xiàn)的所有學(xué)術(shù)專家和老師致以真摯的謝意 ,是他們出版的書(shū)籍與發(fā)表的學(xué)術(shù)論文給了我很 大的啟示與指導(dǎo) ,才將論文完成 . 其次 ,我在即將畢業(yè)之前要感謝數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院所有的老師四年來(lái)對(duì)我的細(xì)心教育與培養(yǎng) ,讓我在四年的學(xué)習(xí)生涯中不僅學(xué)到了扎實(shí)的專業(yè)知識(shí) ,而且他們的言傳身教使我受益非淺 ,他們嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度和耐心教導(dǎo)學(xué)生的精神也是我永遠(yuǎn)學(xué)習(xí)的榜樣 ,并將積極影響著我今后的學(xué)習(xí)和工作 . 最后我還要感謝我的學(xué)校 —— 天水師范學(xué)院四年來(lái)對(duì)我的栽培 . 。 ??2 設(shè) xxxg ??? )1ln()( ,類似可證 明 )(xg 在區(qū)間 (0 , + ∞) 內(nèi)從 0 開(kāi)始單調(diào)減少 ,因此當(dāng) 0?x 時(shí) ,有 0)( ?xg ,即 xx ?? )1ln( . 綜上所述 ,可知 xx?1 ? )1ln( x? ? x )0( ?x . 例 30 證 明不等式 )lnln( yyyx ? ? 2ln)( yxyx ?? x( ? y,0 ? yx?,0 ). 證 構(gòu)造函數(shù) xxxf ln)( ? , ),0( ???x ,則 ?)(39。f ? ) 0? . 定理 3（柯西中值定理）設(shè)函數(shù) )(xf ， )(xg 滿足條件 ??1 在閉區(qū)間 ],[ ba 上連續(xù)； ??2 在開(kāi)區(qū)間 ),( ba 內(nèi)均可導(dǎo)且 )(39。0y? 。 ，求 a 的取值范圍． 解 )1( ()fx的導(dǎo)數(shù) ( ) e exxfx ?? ??,由于 22 ??? ?? xxxx eeee ， 故 2)(39。)(39。( ) 6 4x x x? ??? . 當(dāng) (0, )x? ?? 時(shí)， 39。 a b? ? ? ?，解得 = = 3ab?0， . )2( 由 )1( 得， xxxf 3)( 3 ?? )2()1(232)()(39。 xf 0? ）解出相應(yīng)的 x 的取值范圍，當(dāng) )(39。([ xfxfg 例 9 求 ?)(xf 1ln( 2 ?? xx )的導(dǎo)函數(shù) 。()([ xgxf =g(x) )(39。 7 若 ?)(xf log a x , 則 ?)(39。 3 若 ?)(xf xsin , 則 ?)(39。 論文作者簽名： 年 月 日 論文指導(dǎo)教師簽名： 年 月 日 微積分在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 宋安康 (天水師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 甘肅 天水 741000) 摘 要 微積分是高等數(shù)學(xué)中應(yīng)用最廣泛的學(xué)科之一，應(yīng)用微積分能快速解決生活中的實(shí)際問(wèn)題 ， 本文主要研究運(yùn)用微積分解決高中數(shù)學(xué)中 有關(guān) 極限 、 導(dǎo)數(shù) 、 微分 、 不等式 等問(wèn)題中的 應(yīng)用，系統(tǒng)地分析總結(jié) 出 微積分在高考數(shù)學(xué)中的簡(jiǎn)便解題方法 . 關(guān)鍵 詞 極限； 微積分；應(yīng)用 ；高中數(shù)學(xué) . Applications of the Calculus in Mathmatics in High School Song Ankang (School of Mathmatics and Statistics, Tianshui Normal University, Gansu, China, 741000) Abstract Calculus is one of the most widelyused subjects in mathematics in high school。 本聲明的法律責(zé)任由本人承擔(dān)。 xf 1??x 。 xf e x 。 xgxf ? . 2 )]39。()]39。 xf 0? （ )(39。 a b? ? ? ， ( 1) 3 2 = 0f39。( ) 3 1 2h x x x?? ? ?，記 12 21( ) 3 1 2x x x? ?? ? ?，則 32139。 ?nf ， 故 675)5()( m in ?? fnf . 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 2020 屆畢業(yè)論文 11 導(dǎo)數(shù)在代數(shù)式中的應(yīng)用 用微積分知識(shí)證明恒等式的實(shí)質(zhì)是將等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化成函數(shù)問(wèn)題，進(jìn)而求導(dǎo)證明恒等關(guān)系，依據(jù) cxgxfxgxf ???? )()()(39。 ?xf ； )2( 若對(duì)所有 0?x 都有 axxf ?)(39。 當(dāng) (0, )rm? 時(shí)， 39。f ξ) 0? . 定理 2（拉格朗日中值定理）設(shè)函數(shù) )(xf 滿足條件 ??1 在閉區(qū)間 ],[ ba 上連續(xù)； ??2 在開(kāi)區(qū)間 ),( ba 內(nèi)可導(dǎo)； 則在 ),( ba 內(nèi)至少存在一個(gè)點(diǎn) ? ，使得 (39。()fx? x?112)1( 1x??=2)1( xx?0? , 且 0)( ?xf ,所以函數(shù)在 (0 , + ∞) 內(nèi)單調(diào)增加 ,因此)1ln( x? xx??1 ? 0, 即 )1ln( x? ? xx?1 。 ?f 有 , 22?a 從而 , 1?a . ??2 由 ??1 知， 2( ) ( 0 )xeg x kxk??? , 2 22( 2 )( ) ( 0 )()xe x x kg x kxk??? ??? 令 2( ) 0 , 2 0g x x x k? ? ? ? ?有 . 1 當(dāng) ,044 ?? k 即當(dāng) 1?k 時(shí)， 0)(39。 xf x1 ? 0 , ),0( ???x .因此 ,函數(shù)在 ),0( ???x .上是凹函數(shù) ,由凹函數(shù)的定義有 12()2xxf ? ? 12( ) ( )2f x f x? 即 2ln2 yxyx ?? ? 2 lnln yyxx ? ,所以 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 2020 屆畢業(yè)論文 20 )lnln( yyyx ? ? 2ln)( yxyx ?? . 利用函數(shù)的凹凸性來(lái)證明不等式就是根據(jù)函數(shù)凹凸性定義中的不等式關(guān)系 ,即12()2xxf ? ? 12( ) ( )2f x f x? 或 12()2xxf ? ? 12( ) ( )2f x f x? , 構(gòu)造一個(gè)凸函數(shù)或凹函數(shù)來(lái)證明 . 微積分在高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的應(yīng)用 例 31 (浙江省競(jìng)賽題 )已知函數(shù) axxxf ??? 3)( 在（ 0， 1）上是增函數(shù) . ??1 求實(shí)數(shù) a 的取值集合 A. ??2 當(dāng) a 取 A 中最小值時(shí)，定義數(shù)列 }{na 滿足： )(2 1 nn afa ?? ，且 bba )(1,0(1 ? 為常數(shù)），試比較 nn aa 與1? 的大小 . ??3 在 ??