【文章內容簡介】 點和四點GaussChebyshev求積公式計算積分，并估計誤差。解　這里，由GaussChebyshev求積公式（）可得：當=2時， ，求得：代入上式得：估計誤差可用余項表達式（），因，故當=3時， ，求得： 誤差：　　 .Gauss型求積公式是上帶權的求積公式（），它具有最高代數精確度，實際上由于求積系數及節(jié)點都是待定系數，它共有個，可使（）對任何2n+1次多項式精確成立，具有2n+1次代數精確度的求積公式節(jié)點就是Gauss點。得到求積節(jié)點以后，同樣可利用（）對精確成立，得到關于的線性方程組：解此方程組得到的求積公式系數，它是穩(wěn)定的，也是收斂的，具有較高的精度。通常使用的具體公式是GaussLegendre求積公式（簡稱Gauss求積公式），它是區(qū)間為，權函數為的公式，余項由表達式（）給出，當=1時可得，比（三點）simpson公式好，當n=2時可得比=4（五點）的Cotes公式好，而計算量卻減少。另一個Gauss型求積公式是GaussChebyshev求積公式，它由（）給出，它除了精度高，還可計算反常積分。重慶科技學院本科生畢業(yè)設計 3改進三點Gauss公式 3改進三點Gauss公式文獻[5]給出了區(qū)間上兩點Gauss公式： （）考慮積分，利用變換可將區(qū)間變?yōu)?，而積分變?yōu)椋浩渲校霉?)，可得： （）上述兩點Gauss公式（）具有3次代數精度。在不增加節(jié)點數目的前提下為使兩點Gauss公式具有盡可能高的代數精度，文獻[10]提出對兩點Gauss公式進行如下改進： （）當=1時，顯然（）式兩邊都相等。當時，左邊=，右邊=。當時，左邊=，右邊=。當時，左邊=，右邊=。當時，左邊=，右邊=令左邊=右邊，則可解得。當，左邊=，右邊=令左邊=右邊，則可解得。故得到至少5次代數精度的改進兩點高斯公式：容易驗證公式（）恰有5次代數精度。 根據以上構造思想，本文提出對三點高斯公式進行如下改進：()容易驗證，公式精確成立。現在令時方程精確成立?？梢越獾模篈=1/2016000，=(a+b)/2(具體程序見附件程序二)。故有改進三點高斯公式： （）由于時，（）式恒成立，故得數值積分公式（）至少具有7次代數精度，它實質上是一種改進三點高斯公式。通過分析，本文改進的三點高斯公式具有7次代數精度，并且求積系數都大于零，故我們改進的三點高斯公式是穩(wěn)定的。 數值算例我們選擇積分作為數值算例, 其精確值可以很容易得到：選擇此算例的原因是由于可以計算出的精確值，所以我們可以比較方便和直觀的比較各種不同的數值積分計算公式的相對誤差。我們分別利用梯形公式、辛普森公式、兩點高斯公式、改進兩點高斯公式和本文提出的三點高斯公式數值計算，并對它們的代數精度與誤差進行了比較，（具體程序見附件程序三）。本文改進的三點高斯公式梯形公式：辛普森公式：兩點高斯公式：文獻[10]給出改進的兩點高斯公式：. 誤差分析近似值代數精度誤差梯形公式1辛普森公式3兩點高斯公式3文獻[10]改進的兩點高斯公式5本文改進的三點高斯公式7，本文改進的兩點Gauss公式代數精度至少具有7次，而梯形公式、辛普森公式、兩點高斯公式、文獻[10]改進的兩點高斯公式的代數精度依次是1次，3次，3次，5次，我們的公式代數精度明顯提高了，誤差明顯減少。 2010年數學建模A題求解題目：對于圖1所示的實際儲油罐，試建立罐體變位后標定罐容表的數學模型，即罐內儲油量與油位高度及變位參數（縱向傾斜角度a和橫向偏轉角度b ）之間的一般關系。請利用罐體變位后在進/出油過程中的實際檢測數據（見附表1），根據你們所建立的數學模型確定變位參數，并給出罐體變位后油位高度間隔為10cm的罐容表標定值。油油浮子出油管油位探測裝置注油口檢查口地平線2m6m1m1m3 m油位高度圖1 儲油罐正面示意圖油位探針油位探針α 地平線圖2 儲油罐縱向傾斜變位后示意圖油油浮子出油管油位探測裝置注油口檢查口水平線圖3 儲油罐截面示意圖（b）橫向偏轉傾斜后正截面圖β地平線垂直線油位探針（a）無偏轉傾斜的正截面圖油位探針油位探測裝置3m重慶科技學院本科生畢業(yè)設計 3改進三點Gauss公式一、建立縱向變位時油位深度與油量的函數關系式計算儲油罐中油量的體積,我們將儲油罐分為三個部分，中間部分為圓柱體，兩端為球冠體。由此油量的體積也分為三個部分來進行計算：，其中分別表示油料在油罐圓柱體，左邊球冠體和右邊球冠體中的容量。下面分別計算。的計算第一種情況，時，但是罐體儲油體積不一定為零（如圖4），（圖4）我們計算此種情況的極限容量，采用體積微元法。圓缺面積為，則： （）其中是圓缺的半徑，圓缺的高度。為了便于后面數值解法書寫方便，我們記： （）則有： （）其中。記為： 第二種情況，當時，我們分以下具體情況進行討論：（1） 當時（如圖5），（圖5） （）記為：（2）當時（如圖6）：（圖6） （）記為：（3）當時（如圖7）， （圖7）此時計算油的體積，我們采用，其中是整個油罐圓柱體的容積，油罐中沒有盛油的部分，其中。油罐為圓柱體。其中； （）記為：（4）當時，極限容積為：的計算下面計算在右邊球冠中溶液的體積，以右端球冠的球心為坐標原點，建立三維坐標系，球的半徑，在直角三角形中，計算得。則球面方程為：設為上液面高度，則，其中油位高度。在點做垂直軸的平面，與油液面的公共部分如（圖8），（圖8）所在的圓的方程為：其中公共部分是圓缺，圓缺的高，圓缺的半徑。利用圓缺的面積公式，圓缺的面積為：我們采用體積元素法，體積元素為：則在區(qū)間對體積元素求定積分，得： （）為了便于后面數值解法書寫方便，我們記：所以（15）式變?yōu)椋旱挠嬎阌捎谧筮吳蚬谂c右邊球冠的形狀相似，我們采用的計算方法，左邊低液面的高度設為，只要將（15）式中的換成,即可得。 （）為了便于后面數值解法書寫方便，我們記：所以（16）式變?yōu)椋涸谶M行數值求解時，我們觀察出實驗數據中且，于是我們放棄了計算中的第一種情況和第二種情況中的情況（4）。下面我們分三種情況計算整個油罐中油的容量。1）當； （）2）當， （）3）當時， （） 其中；；；；；。數值計算方法對于的計算，由于被積函數比較復雜，直接積分運算量比較大，因此我們采用數值計算的方法計算，由于計算式子類似，下面我們以為例進行計算說明。計算中采用本文改進三點高斯公式，即：則有：二、建立疊加了橫向變位的油位深度和縱向變位時油位深度的函數關系，其中與的位置關系（如圖9）所示，（圖9）可得函數關系為: （）綜合可得三、找出函數關系將帶入到第二步的中，得到油液容積與疊加了橫向變位的油位深度的函數（具體程序見附件程序四）：。四、用最小二乘參數估計法確定參數最小二乘參數估計法基本思想：根據的關系表達式和油量高度，計算出相鄰高度油量的體積之差 通過與附件的實際儲油量進行比較，通過對進行等間距的窮舉最終求得理論值與實際值的差值的平方和： （）當取得最小值，此時的即為所求的最佳值。即求解如下最小二乘擬合模型： 考慮到實際情況，油罐的縱向變位與橫向變位不會很大，我們假設。于是我們在固定區(qū)間進行搜索，尋找此區(qū)間內的最優(yōu)解，取步長。 算法描述： 第一步 賦初始值，定義步長； 第二步 。 第三步 帶入到（）式，計算方程組中兩個方程誤差的平方和，； 第四步 如果，轉第二步； 第五步 如果，保存，否則保存； 第六步 最終保存的是最優(yōu)解。用最小二乘參數估計法得到的變位參數為：，（具體程序見附件程序五），角度都符合實際情況。五、誤差分析根據和附表一中的實際高度計算出相應的體積。并與實際體積對比，根據公式：計算出相對誤差（具體程序見附件程序六）。： 容量誤差分析顯示高度/mm顯示油量容積/L計算容積/L相對誤差 59063 58915 58847 58650 58580 58445 58213 58104 58056 57974 57856 57750 57664 57436 57256 57018 56886 56649 56606 56436 56224 56132 55890 55682 55460 55290 55072 54955 54861 54747從表中得知誤差，誤差比較小，基本上符合實際情況。因此可以認為，是比較準確的。所以以其值來計算儲油罐的容量，并對不同高度給予容量標定。六、實際儲油罐罐容表的標定根據函數，計算不同時的標定值（具體程序見附件程序程序七）。罐容表標定值H(mm)V（L）H（mm）V(L)0391500303751003411600331952001064170036010300223718003880540037271900415655005467200044273600741521004691270095412200494678001181923005191990014228240054249100016746250056435110019356