【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 點(diǎn)和四點(diǎn)GaussChebyshev求積公式計(jì)算積分，并估計(jì)誤差。解　這里，由GaussChebyshev求積公式（）可得：當(dāng)=2時(shí)， ，求得：代入上式得：估計(jì)誤差可用余項(xiàng)表達(dá)式（），因，故當(dāng)=3時(shí)， ，求得： 誤差：　　 .Gauss型求積公式是上帶權(quán)的求積公式（），它具有最高代數(shù)精確度，實(shí)際上由于求積系數(shù)及節(jié)點(diǎn)都是待定系數(shù)，它共有個(gè)，可使（）對(duì)任何2n+1次多項(xiàng)式精確成立，具有2n+1次代數(shù)精確度的求積公式節(jié)點(diǎn)就是Gauss點(diǎn)。得到求積節(jié)點(diǎn)以后，同樣可利用（）對(duì)精確成立，得到關(guān)于的線性方程組：解此方程組得到的求積公式系數(shù)，它是穩(wěn)定的，也是收斂的，具有較高的精度。通常使用的具體公式是GaussLegendre求積公式（簡(jiǎn)稱Gauss求積公式），它是區(qū)間為，權(quán)函數(shù)為的公式，余項(xiàng)由表達(dá)式（）給出，當(dāng)=1時(shí)可得，比（三點(diǎn)）simpson公式好，當(dāng)n=2時(shí)可得比=4（五點(diǎn)）的Cotes公式好，而計(jì)算量卻減少。另一個(gè)Gauss型求積公式是GaussChebyshev求積公式，它由（）給出，它除了精度高，還可計(jì)算反常積分。重慶科技學(xué)院本科生畢業(yè)設(shè)計(jì) 3改進(jìn)三點(diǎn)Gauss公式 3改進(jìn)三點(diǎn)Gauss公式文獻(xiàn)[5]給出了區(qū)間上兩點(diǎn)Gauss公式： （）考慮積分，利用變換可將區(qū)間變?yōu)?，而積分變?yōu)椋浩渲校霉?)，可得： （）上述兩點(diǎn)Gauss公式（）具有3次代數(shù)精度。在不增加節(jié)點(diǎn)數(shù)目的前提下為使兩點(diǎn)Gauss公式具有盡可能高的代數(shù)精度，文獻(xiàn)[10]提出對(duì)兩點(diǎn)Gauss公式進(jìn)行如下改進(jìn)： （）當(dāng)=1時(shí)，顯然（）式兩邊都相等。當(dāng)時(shí)，左邊=，右邊=。當(dāng)時(shí)，左邊=，右邊=。當(dāng)時(shí)，左邊=，右邊=。當(dāng)時(shí)，左邊=，右邊=令左邊=右邊，則可解得。當(dāng)，左邊=，右邊=令左邊=右邊，則可解得。故得到至少5次代數(shù)精度的改進(jìn)兩點(diǎn)高斯公式：容易驗(yàn)證公式（）恰有5次代數(shù)精度。 根據(jù)以上構(gòu)造思想，本文提出對(duì)三點(diǎn)高斯公式進(jìn)行如下改進(jìn)：()容易驗(yàn)證，公式精確成立。現(xiàn)在令時(shí)方程精確成立?？梢越獾模篈=1/2016000，=(a+b)/2(具體程序見附件程序二)。故有改進(jìn)三點(diǎn)高斯公式： （）由于時(shí)，（）式恒成立，故得數(shù)值積分公式（）至少具有7次代數(shù)精度，它實(shí)質(zhì)上是一種改進(jìn)三點(diǎn)高斯公式。通過分析，本文改進(jìn)的三點(diǎn)高斯公式具有7次代數(shù)精度，并且求積系數(shù)都大于零，故我們改進(jìn)的三點(diǎn)高斯公式是穩(wěn)定的。 數(shù)值算例我們選擇積分作為數(shù)值算例, 其精確值可以很容易得到：選擇此算例的原因是由于可以計(jì)算出的精確值，所以我們可以比較方便和直觀的比較各種不同的數(shù)值積分計(jì)算公式的相對(duì)誤差。我們分別利用梯形公式、辛普森公式、兩點(diǎn)高斯公式、改進(jìn)兩點(diǎn)高斯公式和本文提出的三點(diǎn)高斯公式數(shù)值計(jì)算，并對(duì)它們的代數(shù)精度與誤差進(jìn)行了比較，（具體程序見附件程序三）。本文改進(jìn)的三點(diǎn)高斯公式梯形公式：辛普森公式：兩點(diǎn)高斯公式：文獻(xiàn)[10]給出改進(jìn)的兩點(diǎn)高斯公式：. 誤差分析近似值代數(shù)精度誤差梯形公式1辛普森公式3兩點(diǎn)高斯公式3文獻(xiàn)[10]改進(jìn)的兩點(diǎn)高斯公式5本文改進(jìn)的三點(diǎn)高斯公式7，本文改進(jìn)的兩點(diǎn)Gauss公式代數(shù)精度至少具有7次，而梯形公式、辛普森公式、兩點(diǎn)高斯公式、文獻(xiàn)[10]改進(jìn)的兩點(diǎn)高斯公式的代數(shù)精度依次是1次，3次，3次，5次，我們的公式代數(shù)精度明顯提高了，誤差明顯減少。 2010年數(shù)學(xué)建模A題求解題目：對(duì)于圖1所示的實(shí)際儲(chǔ)油罐，試建立罐體變位后標(biāo)定罐容表的數(shù)學(xué)模型，即罐內(nèi)儲(chǔ)油量與油位高度及變位參數(shù)（縱向傾斜角度a和橫向偏轉(zhuǎn)角度b ）之間的一般關(guān)系。請(qǐng)利用罐體變位后在進(jìn)/出油過程中的實(shí)際檢測(cè)數(shù)據(jù)（見附表1），根據(jù)你們所建立的數(shù)學(xué)模型確定變位參數(shù)，并給出罐體變位后油位高度間隔為10cm的罐容表標(biāo)定值。油油浮子出油管油位探測(cè)裝置注油口檢查口地平線2m6m1m1m3 m油位高度圖1 儲(chǔ)油罐正面示意圖油位探針油位探針α 地平線圖2 儲(chǔ)油罐縱向傾斜變位后示意圖油油浮子出油管油位探測(cè)裝置注油口檢查口水平線圖3 儲(chǔ)油罐截面示意圖（b）橫向偏轉(zhuǎn)傾斜后正截面圖β地平線垂直線油位探針（a）無(wú)偏轉(zhuǎn)傾斜的正截面圖油位探針油位探測(cè)裝置3m重慶科技學(xué)院本科生畢業(yè)設(shè)計(jì) 3改進(jìn)三點(diǎn)Gauss公式一、建立縱向變位時(shí)油位深度與油量的函數(shù)關(guān)系式計(jì)算儲(chǔ)油罐中油量的體積,我們將儲(chǔ)油罐分為三個(gè)部分，中間部分為圓柱體，兩端為球冠體。由此油量的體積也分為三個(gè)部分來(lái)進(jìn)行計(jì)算：，其中分別表示油料在油罐圓柱體，左邊球冠體和右邊球冠體中的容量。下面分別計(jì)算。的計(jì)算第一種情況，時(shí)，但是罐體儲(chǔ)油體積不一定為零（如圖4），（圖4）我們計(jì)算此種情況的極限容量，采用體積微元法。圓缺面積為，則： （）其中是圓缺的半徑，圓缺的高度。為了便于后面數(shù)值解法書寫方便，我們記： （）則有： （）其中。記為： 第二種情況，當(dāng)時(shí)，我們分以下具體情況進(jìn)行討論：（1） 當(dāng)時(shí)（如圖5），（圖5） （）記為：（2）當(dāng)時(shí)（如圖6）：（圖6） （）記為：（3）當(dāng)時(shí)（如圖7）， （圖7）此時(shí)計(jì)算油的體積，我們采用，其中是整個(gè)油罐圓柱體的容積，油罐中沒有盛油的部分，其中。油罐為圓柱體。其中； （）記為：（4）當(dāng)時(shí)，極限容積為：的計(jì)算下面計(jì)算在右邊球冠中溶液的體積，以右端球冠的球心為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立三維坐標(biāo)系，球的半徑，在直角三角形中，計(jì)算得。則球面方程為：設(shè)為上液面高度，則，其中油位高度。在點(diǎn)做垂直軸的平面，與油液面的公共部分如（圖8），（圖8）所在的圓的方程為：其中公共部分是圓缺，圓缺的高，圓缺的半徑。利用圓缺的面積公式，圓缺的面積為：我們采用體積元素法，體積元素為：則在區(qū)間對(duì)體積元素求定積分，得： （）為了便于后面數(shù)值解法書寫方便，我們記：所以（15）式變?yōu)椋旱挠?jì)算由于左邊球冠與右邊球冠的形狀相似，我們采用的計(jì)算方法，左邊低液面的高度設(shè)為，只要將（15）式中的換成,即可得。 （）為了便于后面數(shù)值解法書寫方便，我們記：所以（16）式變?yōu)椋涸谶M(jìn)行數(shù)值求解時(shí)，我們觀察出實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中且，于是我們放棄了計(jì)算中的第一種情況和第二種情況中的情況（4）。下面我們分三種情況計(jì)算整個(gè)油罐中油的容量。1）當(dāng)； （）2）當(dāng)， （）3）當(dāng)時(shí)， （） 其中；；；；；。數(shù)值計(jì)算方法對(duì)于的計(jì)算，由于被積函數(shù)比較復(fù)雜，直接積分運(yùn)算量比較大，因此我們采用數(shù)值計(jì)算的方法計(jì)算，由于計(jì)算式子類似，下面我們以為例進(jìn)行計(jì)算說明。計(jì)算中采用本文改進(jìn)三點(diǎn)高斯公式，即：則有：二、建立疊加了橫向變位的油位深度和縱向變位時(shí)油位深度的函數(shù)關(guān)系，其中與的位置關(guān)系（如圖9）所示，（圖9）可得函數(shù)關(guān)系為: （）綜合可得三、找出函數(shù)關(guān)系將帶入到第二步的中，得到油液容積與疊加了橫向變位的油位深度的函數(shù)（具體程序見附件程序四）：。四、用最小二乘參數(shù)估計(jì)法確定參數(shù)最小二乘參數(shù)估計(jì)法基本思想：根據(jù)的關(guān)系表達(dá)式和油量高度，計(jì)算出相鄰高度油量的體積之差 通過與附件的實(shí)際儲(chǔ)油量進(jìn)行比較，通過對(duì)進(jìn)行等間距的窮舉最終求得理論值與實(shí)際值的差值的平方和： （）當(dāng)取得最小值，此時(shí)的即為所求的最佳值。即求解如下最小二乘擬合模型： 考慮到實(shí)際情況，油罐的縱向變位與橫向變位不會(huì)很大，我們假設(shè)。于是我們?cè)诠潭▍^(qū)間進(jìn)行搜索，尋找此區(qū)間內(nèi)的最優(yōu)解，取步長(zhǎng)。 算法描述： 第一步 賦初始值，定義步長(zhǎng)； 第二步 。 第三步 帶入到（）式，計(jì)算方程組中兩個(gè)方程誤差的平方和，； 第四步 如果，轉(zhuǎn)第二步； 第五步 如果，保存，否則保存； 第六步 最終保存的是最優(yōu)解。用最小二乘參數(shù)估計(jì)法得到的變位參數(shù)為：，（具體程序見附件程序五），角度都符合實(shí)際情況。五、誤差分析根據(jù)和附表一中的實(shí)際高度計(jì)算出相應(yīng)的體積。并與實(shí)際體積對(duì)比，根據(jù)公式：計(jì)算出相對(duì)誤差（具體程序見附件程序六）。： 容量誤差分析顯示高度/mm顯示油量容積/L計(jì)算容積/L相對(duì)誤差 59063 58915 58847 58650 58580 58445 58213 58104 58056 57974 57856 57750 57664 57436 57256 57018 56886 56649 56606 56436 56224 56132 55890 55682 55460 55290 55072 54955 54861 54747從表中得知誤差，誤差比較小，基本上符合實(shí)際情況。因此可以認(rèn)為，是比較準(zhǔn)確的。所以以其值來(lái)計(jì)算儲(chǔ)油罐的容量，并對(duì)不同高度給予容量標(biāo)定。六、實(shí)際儲(chǔ)油罐罐容表的標(biāo)定根據(jù)函數(shù)，計(jì)算不同時(shí)的標(biāo)定值（具體程序見附件程序程序七）。罐容表標(biāo)定值H(mm)V（L）H（mm）V(L)0391500303751003411600331952001064170036010300223718003880540037271900415655005467200044273600741521004691270095412200494678001181923005191990014228240054249100016746250056435110019356