【文章內(nèi)容簡介】 6 函數(shù)的零點與極點的關(guān)系 如果函數(shù) ()fz在 0z 點解析且 0( ) 0fz? 則稱 0z 為 ()fz的零點；若 ()fz 能表示成 0( ) ( ) ( )mf z z z z??? . () 其中 ()z? 在 0z 解析，且 0( ) 0z? ? ， m 為正整數(shù)，則 0z 為 ()fz的 m 極零點 . 例如，zi?? 與 1z? 是 32( ) ( 1)( )f z z z i? ? ?的 2 級零點和 1 級零點．由此我們有下面的定理： 定理 [1] 設(shè)函數(shù) ()fz在 0z 解析，則 0z 為 ()fz的 m 級零點的充要條件是 () ( ) 0 ( 0 , 1 , 2 , , 1 )nf z n m? ? ?， ()( ) 0nfz? . 例如， 1z? 是 3( ) 1f z z??的 1 級零點 . 因為 (1) 0f ? ， (1) 3 0f? ?? . 函數(shù)的零點與極點有下面的關(guān)系： 定理 [2] 0z 是 ()fz的 m 極極點的充要條件是 0z 是 1()fz的 m 級零點 . 例如， 1z? 是 31() 1fz z? ?的 1 級極點，是 3( ) 1f z z??的 1 級零點 . 留數(shù)定理 留 數(shù)定義 [3] 設(shè) 0z 是解析函數(shù) ()fz的孤立奇點，我們把 ()fz在 0z 處的洛朗展式中一次冪項的系數(shù) 1C? 稱為 ()fz 在 0z 處的留數(shù) . 記作 0Re [ ( ), ]s f z z ，即01R e [ ( ), ]s f z z C??. 顯然，留數(shù) 1C? 就是 1 ()2 c f z dzi? ?在 0z 處的值，其中 C 為解析函數(shù) ()fz的 0z的去心領(lǐng)域內(nèi)繞 0z 的閉曲線 . 關(guān)于留數(shù)我們有如下定理： 定理 （留數(shù)定理 [1] ） 設(shè) D 是在復(fù)平面上的一個有界區(qū)域，其邊界是一條或有限條簡單閉合曲線 C . 設(shè)函數(shù) ()fz在 內(nèi)除去有孤立奇點 1z ， 2z ， ， nz 外， 7 在每一點都解析，并且它在 C 上每一點也解析 .那么我們有 1( ) 2 R e ( , )nnkC kf z d z i s f z? ?? ??. () 這里沿 C 的積分是關(guān)于區(qū)域 D 的正向取的 . 證 以 D 內(nèi)每一個孤立奇點 kz 為心，做圓 k? ，使以它以邊界的閉圓盤上每一點都在 D 內(nèi)，并且使任意兩個這樣的閉圓盤彼此無公共點 .從 D 中除去以這些 k?為邊界的閉圓盤得以區(qū)域 G ，其邊界是 C 以及 k? 在 G 及其邊界所組成的閉區(qū)域G 上， ()fz解析 .因此根據(jù)柯西定理，1( ) ( )knC kf z dz f z dz??? ???. 這里沿 C 的積分是按關(guān)于區(qū)域 D 的正向取的，沿 k? 的積分是按反時針方向取的 .根據(jù)留數(shù)的定義可推出 () . 留數(shù)的計算 在本段中，我們講述在幾種常見的情形下如何計算留數(shù) . 先考慮一階極點的情形 . 設(shè) 0z 是函數(shù) ()fz一個一階極點 . 這就是說，在去掉中心 0z 的某一圓盤內(nèi) 0()zz? ，01( ) ( )f z zzz?? ? . 其中 ()z? 在這圓盤內(nèi)包括在 0zz? 解析，其泰勒級數(shù)展式是： 00( ) ( ) nnnz C z z???????， () 而且 00( ) 0Cz???. 顯然，在 ()fz的洛朗級數(shù)中，01zz? 的系數(shù)等于 0()z? . 因此 000Re ( , ) l im ( ) ( )nzxs f z z z f z???. 如果容易求解出展式 () ，那么由此可得 0Re ( , ) ns f z C? ；否則要采用其它方程求留數(shù) . 如果在上述去掉中心 0z 的圓盤內(nèi) 0()zz? ， 8 ()()()Pzfz Qz?. () 其中 ()Pz 及 ()Qz 在這圓盤內(nèi)包括在 0zz? 解析， 0( ) 0Pz? ， 0z 是 ()Qz 的一階零點，并且 ()Qz 在這圓盤內(nèi)沒有其它零點，那么 0z 是 ()fz的一階極點，因而有 規(guī)則 1 如果 0z 是 ()fz的一階極點，則 000Re ( , ) lim ( ) ( )zzs f z z z f z???. () 規(guī)則 2 設(shè) 00()() ()Pzfz Qz? ? ， ()Rz 和 ()Qz 在 0z 都解析，如果 0( ) 0Pz? ， 0( ) 0Qz? ，0( ) 0Qz? ? ，則 0z 為 ()fz的一階極點，并且 00 0()R e ( , ) ()Pzs f z Qz? ?. () 例 函數(shù) 2() 1izefz z? ? 有兩個一階極點 zi?? ，這時 ( ) 1( ) 2 izPz eQ z z??. 因此 Re ( , ) 2is f i e?? ， Re ( , ) 2is f i e??. 其次，我們考慮高階極點的情形，設(shè) 0z 是函數(shù) ()fz的一個 k 階極點 . 這就是說，在去掉中心 0z 的某一圓盤內(nèi) 0()zz? ，01( ) ( )()kf z zzz ?? ? . 其中 ()z? 在這圓盤內(nèi)包括在 0zz? 解析，而且 0( ) 0z? ? . 在這圓盤內(nèi)， 0()z? 有展式 () . 由此可見 01Re ( , ) ks f z C ?? . () 因此問題成了求解 ()z? 的泰勒展式的系數(shù) . 顯然，0( 1 ) ( 1 )01 () ()l im( 1 ) ! ( 1 ) !k kk zzz zC kk? ?? ?? ?????. 因此，我們還可有以下規(guī)則 規(guī)則 3 如果 0z 是 ()fz的一階極點，則 01 00 1[ ( ) ( ) ]1R e ( , ) l im( 1 ) !kkkzz d z z f zs f z k d z??? ?? ?. () 9 例 函數(shù) 3sec() zfz z?在 0z? 有三階極點 . 因此 1Re ( ,0)2sf ?. 由 () 有， Re ( ,0)sf 也可以 由下列公式求得： 2 32301 s e c 1R e ( , 0 ) l im22z dzs f zd z z? ??? ? ?????. 下面給出函數(shù)在無窮遠點處的留數(shù) 規(guī)則 4 211R e ( , ) R e , 0s f s f zz????? ? ? ?????????. () 10 第 2 章 留數(shù)計算在積分中的應(yīng)用 在本章中，我們將講述留數(shù)計算積分的應(yīng)用 . 在數(shù)學(xué)分析以及實際問題中，往往要求一些定積分或反常積分的值，而這些積分中被積函數(shù)的原 函數(shù)，不能用初等函數(shù)，有的即便可以求出原函數(shù)，計算也往往比較復(fù)雜 .利用留數(shù)定理，要計算某些類型的定積分或反常積分，只須計算某些解析函數(shù)在孤立奇點的留數(shù) .我們只考慮幾種特殊類型的積分，并且指出怎樣計算這些類型的積分的問題化為計算留數(shù)的問題，重點討論幾種單值函數(shù) . 型如 20 (c o s , sin )Rd? ? ? ??的積分 被積函數(shù) ( ,sin )R con??為 cos? 與 sin? 的 有理函數(shù) . 令 ize?? ，那么idz ie dz?? , 211s in ( ) 2ii zeezi iz??? ? ?? ? ?， 211c o s ( ) 2ii zeezz??? ? ?? ? ?. 從而，所求積分化為沿正向單位圓的積分 22| | 1 | | 111, ( )22zzz z d zR f z d zz iz iz?????? ???????. () 其中 ()fz在曲線 | | 1z? 上為 z 的有理函數(shù)，且在單位圓上分母不為零 . 所以，滿足留數(shù)定理的條件，根據(jù)留數(shù)定理，得所求的積分值為 012 R e ( ( ), )nki s f z z? ??. 其中 ( 1, 2, , )kz k n? 為包含 ()fz的孤立奇點 例 計算積分 20 sindtI at?? ?? . () 其中常數(shù) 1a? .