【正文】 域內(nèi)除去 1z?? . 在最后所得到區(qū)域內(nèi)，這函數(shù)可以分成解析分支；取在割線上沿取實值的解析分支，并且用 01(1 )( )zz?? 表示它 . 顯然它在 1z?? 有一階極點 . 把 01(1 )( )zz?? 沿著如下的一條閉合曲線 ? ?,Cr? 積分：首先沿著正實軸的上 15 沿從 ? 到 ? ?01rr?? ? ? ? ??；其次按反時針方向，沿以 O 為心、 ? 為半徑的圓r? . 01(1 )( )zz?? 在 ? ?,Cr? 的內(nèi)區(qū)域有唯一極點 1z?? . 又由于在正實軸下沿，20( ) | |iz e z? ? ? ?? ，我們有 ? ?2001 ( 1 ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( )rri d x d z d ze x x z z z z??? ? ? ?? ??? ? ?? ? ?? ? ? 022 R e , 1(1 ) ( ) id z iis z z e? ? ??? ??? ? ??????. () 現(xiàn)在我們估計 () 中 第三個積分 . 我們有 10(1 ) ( ) (1 ) 1rdzzz ???? ? ? ?? ? ??? ??? ? ??. 因此 0lim 0(1 )( )dzzz? ?? ??? ???. 類似可證明 0lim 0(1 )( )rrdzzz???? ???. 在 () 中令 ? 趨近于 0 ， r 趨進(jìn)于 ?? ，我們就可看出 () 中的積分 I 收斂，并且 ? ?2 21 ii ieIe?? ?????，因此 sinI ???? . 例 計算積分 30 ln(1 )xI dxx??? ??. () 考慮多值解析函數(shù) 23()(1 )Lnzz?. 在復(fù)平面上取正實軸作割線，得一區(qū)域 . 在這一區(qū)域內(nèi)除去 1z?? ，在最后所得區(qū)域內(nèi)，可把 23()(1 )Lnzz?分成解析函數(shù)分支；取在割線上沿實值的一分支，并用 23()(1 )lnzz?表示它 . 顯然，它在 1 有三階極點 . 作閉合曲線 ( , )(0 1 )C r r??? ? ?. 于是 23()(1 )lnzz?的極點 1z?? 在 ?? 及 r? 之間 . 因而 2233( , ) ( ) ( )2 R e , 1(1 ) (1 )Cr ln z ln zd z i szz? ????????? ??? ， () 16 其中沿 ( , )Cr? 的積分是按例 中同樣的方向取的 . 另一方面，在正實軸下沿， 22(ln ) (ln 2 )z x i???. 因此 2 2 2 2 23 3 3 3 3( , ) ( ) ( l n ) ( l n ) ( l n 2 ) ( l n )( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )rrrCrln z x z x i zd z d x d z d x d zz x z x z?? ? ?????? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? 2223 3 3 3l n ( l n ) ( l n )44( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )rrrx d x z zi d x d z d zx x z z????? ??? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 由于 2 233( l n ) ( l n 2 )(1 ) (1 )zzzz ?????，我們有 23(ln )lim 0(1 )z zz z??? ???, 于是與例 一樣， 22330( l n ) ( l n )l im l im 0(1 ) (1 )rz zzd z d z????? ? ? ???????. 結(jié)合 () 及() ，并且我們?nèi)?0, r? ? ???時的極限 . 由于 30 (1 )dxx?? ?? 存在，可見 ()中的積分 I 存在，并且我們有 22330 ( l n )4 4 2 R e , 1( 1 ) ( 1 )d x ziI i sxz? ? ??? ??? ? ? ????????. () 現(xiàn)在求上式右邊的留數(shù)， lnz 在 1z?? 有泰勒展式 ? ? 21l n l n 1 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )2z z i z z?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 而 2(ln)z 在 1z?? 的展式恰好是上一展式的平方，其中含 2( 1)z? 項的系數(shù)是 1i?? . 因此 23( ln )R e , 1 1(1 )zsiz ???? ? ??????. 把這一結(jié)果代入 () ，并比較兩邊的虛部就得到 12I?? . 17 第 3 章 總結(jié) 本文通過兩大部分分別梳理了留數(shù) 的相關(guān)概念及其應(yīng)用 . 在第 1 章的基本概念部分中，給出了孤立奇點的定義和分類、函數(shù)零點與極點的關(guān)系 . 根據(jù)洛朗展式中 n 的不同范圍又可分為可去奇點、極點和本性奇點，討論了無窮遠(yuǎn)點的性態(tài)，函數(shù)零點與極點的關(guān)系，接著介紹了留數(shù)定義， 留數(shù)又稱殘數(shù)，復(fù)變函數(shù)論中一個重要的概念 . 留數(shù)的概念最早由 ..AL? 柯西于 1825年提出 . 如果 0z 是解析函數(shù) ()fz的孤立奇點，把 ()fz 在 0z 處的洛朗展式中一次冪項的系數(shù) 1C? 稱為()fz在 0z 處的留數(shù) . 記作 0Re [ ( ), ]s f z z ，即 01R e [ ( ), ]s f z z C??. 由于對函數(shù)的洛朗展開式進(jìn)行積分時只留下一項 10()zz?? ，因此稱為留數(shù) . 留數(shù)定理： 1( ) 2 R e ( , )nnkC kf z d z i s f z? ?? ??， 留數(shù)的 4 種計算規(guī)則 . 第 2 章將重點介紹利用留數(shù)定理計算 3 種經(jīng)典類型的積分，它們分別是形如 20 (co s , sin )Rd? ? ? ?? ， 20 ()R x dx?? ， ( ) , ( 0 )iaxR x e dx a???? ?? 的積分計算，最后通過對 0 (1 )dxI xx???? ?? 和 30ln(1 )xI dxx??? ?? 的計算簡單的了解了應(yīng)用多值函數(shù)來計算實變函數(shù)的積分 . 而本文的主要內(nèi)容是留數(shù)在計算積分上的應(yīng)用，其中重點是應(yīng)用單值解析函數(shù)計算積分 . 除本文介紹的之外，留數(shù)還應(yīng)用在 將亞純函數(shù)展開為部分分式，將整函數(shù)展開為無窮乘積，穩(wěn)定性理論 ,漸近估計等 . 18 參考文獻(xiàn) [1] 余家榮 .復(fù)變函數(shù) [M]. 北京 :高等教育出版社 ,2021. [2] 張鴻艷 .復(fù)變函數(shù)與積分變換 [M]. 北京 :化學(xué)工業(yè)出版社 ,2021. [3] 鐘玉泉 .復(fù)變函數(shù)論 [M]. 北京 :高等教育出版社 ,2021. [4] 路線 .復(fù)變函數(shù)與積分變換 [M]. 北京 :科學(xué)出版社 ,2021. [5] 楊降龍，楊帆 .復(fù)變函數(shù)與積分變換 [M]. 北京 :科學(xué)出版社 ,2021. [6] 李漢龍，繆淑賢 .復(fù)變函數(shù) [M]. 北京：國防工業(yè)出版社， 2021. [7] 孫清華，孫昊 . 復(fù)變函數(shù) 內(nèi)容、方法與技巧 [M]. 武漢：華中科技大學(xué)出版社， 2021. [8] 祝同江 .工程數(shù)學(xué) — 復(fù)變函數(shù) [M].北京：電子工業(yè)大學(xué)出版社， 20219. [9] 李慶忠 .復(fù)變函數(shù) [M]. 北京：科學(xué)出版社， 2021. [10] 孫清華，孫昊 . 復(fù)變函數(shù)疑難分析與解題方法 [M]. 武漢：華中科技大學(xué)出版社， 2021. 19 致謝 首先非常感謝遼寧大學(xué)給了我這么好的一個繼續(xù)深造的機會，通過四年的計算數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，使我不僅獲得了很多知識，而且實際工作的能力也有很大的提升 . 在此特別感謝我的畢業(yè)論文指導(dǎo)導(dǎo)師趙勝芝老師，在論文撰寫期間，導(dǎo)師給予了我很大的幫助和指導(dǎo)、孜孜不倦地審閱和改進(jìn)意見，使我受益匪淺，順利地完成論文 .同時感謝各位授課老師，在我大學(xué)期間，正是你們的教誨使我能夠順利完成學(xué)業(yè)，你們的潛移默化使我在這四年 多的學(xué)習(xí)生涯中積累了一筆寶貴的財富，這將使我在今后的學(xué)習(xí)工作中受益終生 . 感謝我的大學(xué)同學(xué)、感謝我的家人和朋友，在我求學(xué)的過程中，給予我莫大的支持和幫助，沒有你們就沒有我今天的收獲和成果 .本論文撰寫過程中，參考并引用了許多作者的文獻(xiàn)，他們的研究成果給了我極大的幫助和啟迪，在此謹(jǐn)表示衷心的感謝 ! 最后向在百忙之中抽出時間對本論文進(jìn)行評審及評閱的各位專家表示衷心的感謝 ! 陸林 2021 年 5 月 于沈陽