【正文】 目錄 序言 ......................................................................................................... 1 第 1 章 基本定理 ................................................................................ 2 孤立奇點 ....................................................................................... 2 孤立奇點的分類 ............................................................................. 2 解析函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點的性態(tài) ............................................................ 5 函數(shù)的零點與極點的關(guān)系 ............................................................... 6 留數(shù)定理 ....................................................................................... 6 留數(shù)的計算 ................................................................................... 7 第 2 章 留數(shù)計算在積分中的應(yīng)用 ......................................................10 型如 20 (co s , sin )Rd? ? ? ??的積分 ..................................................... 10 型如 20 ()R x dx??的積分 .................................................................. 11 型如 ( ) , ( 0 )iaxR x e dx a???? ??的積分 .................................................... 13 應(yīng)用多值函數(shù)來計算實變函數(shù)的積分 ............................................. 14 第 3 章 總結(jié) .........................................................................................17 參考文獻(xiàn) ...............................................................................................18 致謝 .......................................................................................................19 1 序言 留數(shù)又稱殘數(shù)，是復(fù)變函數(shù)論中一個重要的概念 . 留數(shù)的概念最早由 ..AL?柯西于 1825年提出 . 如果 0z 是解析函數(shù) ()fz的孤立奇點，把 ()fz在 0z 處的洛朗展式中一次冪項的系數(shù) 1C? 稱為 ()fz 在 0z 處的留數(shù) . 記作 0Re [ ( ), ]s f z z ，即01R e [ ( ), ]s f z z C??. 由于對函數(shù)的洛朗展開式進(jìn)行積分時只留下一項 10()zz?? ，因此稱為留數(shù) . 它在很多問題上都有重要應(yīng)用，如定積分計算，函數(shù)零點與極點個數(shù)的計算，將亞純函數(shù)展開為部分分式，將整函數(shù)展開為無窮乘積，穩(wěn)定性理 論 ,漸近估計等 . 本文將從兩大部分分別梳理留數(shù)的相關(guān)概念及其應(yīng)用 .在第 1 章的基本概念部分中，將給出孤立奇點的定義和分類、函數(shù)零點與極點的關(guān)系 . 我們把不解析的點稱做奇點，函數(shù) ()fz點 0z 不解析，但在 0z 的某個去心領(lǐng)域 00 | |z z r? ? ? 內(nèi)處處解析，則稱 0z 為 ()fz的孤立奇點 .根據(jù)洛朗展式的不同形式又將其分為可去奇點、極點和本性奇點 . 本文將討論無窮遠(yuǎn)點的性態(tài)，函數(shù)零點與極點的關(guān)系，接著將介紹留數(shù)定義和留數(shù)定理及留數(shù)的 4 種計算規(guī)則 . 留數(shù)定理： D 是在復(fù)平面上的一個有界區(qū)域，其邊界是一條或有限條簡單閉合曲線 C . 設(shè)函數(shù) ()fz 在 內(nèi)除去有孤立奇點 1z ， 2z ， ， nz 外，在每一點都解析，并且它在 C 上每一點也解析 .那么我們有 1( ) 2 R e ( , )nnkC kf z d z i s f z? ?? ??. 第 2 章將重點介紹 利用留數(shù)定理計算 3 種經(jīng)典類型的積分，它們分別是形如 20 (co s , sin )Rd? ? ? ?? ， 20 ()R x dx?? ， ( ) , ( 0 )iaxR x e dx a???? ?? . 最后將通過對 0 (1 )dxI xx???? ?? 和 30ln(1 )xI dxx??? ?? 的計算簡單的了解應(yīng)用多值函數(shù)來計算實變函數(shù)的積分 . 2 第 1 章 基本定理 本章將首先討論留數(shù)相關(guān)的基本定理 . 討論孤立奇點 ,孤立奇點的分類，無窮遠(yuǎn)點，極點與零點的關(guān)系，這是對留數(shù)定理及留數(shù)的計算是必要的準(zhǔn)備 . 接著開始對留數(shù)的討論，給出留數(shù)定理，留數(shù)的計算 . 首先將從孤立奇點開始 . 孤立奇點 我們把不解析的點稱做奇點 . 下面我們討論孤立奇點的 定義 [2] : 若函數(shù) ()fz點 0z 不解析，但在 0z 的某個去心領(lǐng)域 00 | |z z r? ? ? 內(nèi)處處解析，則稱 0z 為 ()fz的孤立奇點 . 例如 , 0z? 是函數(shù) 1()fzz? 的孤立奇點 . 0z? 和 1z?? 都是 21() ( 1)fz zz? ? 的孤立奇點 . 但并不是所有的奇點都是孤立奇點 . 如 0z? 和負(fù)實軸上的點都是函數(shù) ( ) lnf z z? 的奇點 .但它們不是孤立奇點 . 下面我們看一下函數(shù) ()fz在 00 | |z z r? ? ? 內(nèi)的洛朗展式 0( ) ( ) nnf z C z z??????? , () 101 ( ) ( 0 , 1 , 2 , )2 ( )pn nC fC d niz ? ??? ?? ? ? ??? . () 孤立奇點的分類 根據(jù) () 式，可將孤立奇點分為如下幾類 . 可去奇點 當(dāng) () 中 0n? 時， 0nC? ，則稱孤立奇點 0z 為 ()fz的可去奇點，即 20 1 0 2 0 0( ) ( ) ( ) nnC C z z C z z C z z? ? ? ? ? ? ? ?. () 3 此時，式 () 的和函數(shù) ()Sz在 0z 點解析 . 當(dāng) 0zz? 時， ( ) ( )f z S z? ；當(dāng) 0zz? 時0()S z C? . 但由于 00 00lim ( ) lim ( )z z z zf z S z C??? ? ?，所以不論 ()fz在 0z 有無定義 . 若令 00()f z C? ，則在 0||z z r?? 內(nèi)有 20 1 0 2 0 0( ) ( ) ( ) ( ) nnf z C C z z C z z C z z? ? ? ? ? ? ? ? ?. () 于是 ()fz在 0z 點解析 . 這就是孤立奇點 0z 被稱可去奇點的原因 . 例如，sin() zfz z? ， 0z? 為可去奇點 . 這是由于 ()fz在 0z? 的洛朗級數(shù) 351 1 1z ( )3 ! 5 !f z z zz ??（ ） = 2 4 61 3 ! 5 ! 7 !z z z? ? ? ? ?. 中不含負(fù)冪項，若約定函數(shù) sin() zfz z? 在 0z? 處的值為 0 . 則函數(shù) sin() zfz z? 在 0z? 處解析 . 定理 [1] 設(shè)函數(shù) ()fz在 00 | |z z r? ? ? (0 )r? ??? 內(nèi)解析，那么 0z 是 ()fz的可去極點的必要與充分條件是：存在著極限 0 0lim ( )xxf x C? ?其中 0C 是一個復(fù)數(shù) . 定理 [1] 在定理 的假設(shè)條件下， 0z 是 ()fz的可去極 點的必要與充分條件是：存在著某一正數(shù) rp? ，使得 ()fz在 00 | |z z p? ? ? 內(nèi)有界 . 極點 如果只有有限個（至少一個）整數(shù) 0n? ，使得 0nC? ，那么我們說 0z 是函數(shù) ()fz的極點 . 如果式 () 只含有有限多個 0zz? 的負(fù)冪項，且關(guān)于 0zz? 的最高次冪項為 0()mzz??