復(fù)變函數(shù)與積分變換留數(shù)(參考版)
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【正文】 : 0 , : 0 2x d d x x? ? ? ? ?? ? ? ?21 20111 1 / 12 1 c os 2 212zzd dz iz dzIzz i z z? ?? ? ? ?? ???? ? ??? ? ??? ? ?22111iIi????????復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復(fù)變函數(shù)與積分變換例 2 ??????? ????????022s i n351d計(jì)算? ?? ?????? ???????? 20 2s i n35122 d令? ? ??????? 1 22 )3()3(2 zi dziziz ziez ???令31izz ?? 內(nèi)只有一個(gè)二階極點(diǎn)：被積函數(shù)在????? 645256 522]3),([Re s2 ??????? ??????? ???? iiizfi解： 復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復(fù)變函數(shù)與積分變換 取積分路線如圖所示 , 其中 CR是以原點(diǎn)為中心 , R為半徑的在上半平面的半圓周 . 取 R適當(dāng)大 , 使 R(z)所有的在上半平面內(nèi)的極點(diǎn) zk都包在這積分路線內(nèi) . z1 z2 z3 y CR ?R R O x 不失一般性 , 設(shè) 1111( ) , 2nnnmmmz a z aR z m nz b z b??? ? ?? ? ?? ? ?為一已約分式 . 2 . 形如 ( ) dR x x?????的積分 當(dāng)被積函數(shù) R ( x ) 是 x 的有理函數(shù) , 而分母 的次數(shù)至少比分子的次數(shù)高二次 , 并且 R ( x )在實(shí)軸上沒(méi)有孤立奇點(diǎn)時(shí) , 積分是存在的 . 復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復(fù)變函數(shù)與積分變換0( ) ,1( ) d ( ) d π Re s[ ( ) , ] .2 kRxR x x R x x i R z z? ? ? ????? ???如 果 為 偶 函 數(shù)( ) d 2 π Re s[ ( ) , ] .kR x x i R z z???? ? ??復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復(fù)變函數(shù)與積分變換例 3 ? ???? ???? dxxx x 1242計(jì)算在上半平面其中的四個(gè)一階極點(diǎn)為214,32,12422222224,2321,2321:1)(0)1)(1()1(1zzizizzzzzfzzzzzzzz?????????????????????? ?3343134312]),(R e s []),(R e s [2 21???????????? ???????iiiiizzfzzfi復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復(fù)變函數(shù)與積分變換例 4 2101( 1 ) n dxx????? ??計(jì) 算,1)1( 1)( 12 iznzzf n ???? ? 階極點(diǎn)在上半平面只有一個(gè)21112 ( 1 ) nI dxx?????? ??解： 121211 1 ( 1 ) ( 1 ) ( 2) 2R e s [ ( ) , ]! ! ( 2 )( 1 ) ( 2) 2 ( 2 1 ) ! !! 2 2 ( 2 ) ! !nnnzind n n ni f z i i in dz z i n in n n nnn? ? ???????? ? ???? ? ? ??????? ? ?? ? ?復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復(fù)變函數(shù)與積分變換也可寫(xiě)為 ( ) c os d ( ) sin d2 π Re s[ ( ) , ] .aiz kR x ax x i R x ax xi R z e z??? ? ? ??????973. ( ) ( )( ) e d 2 π Re s[ ( ) e , ] .ixaix aizkR x e dx PR x x i R z z????????????形 如 的 積 分有 復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復(fù)變函數(shù)與積分變換例 5 計(jì)算 的值 . 220sin ( 0)xxI dx axa??????解 :這里 m=2,n=1,mn=(z)在實(shí)軸上無(wú)孤立奇點(diǎn) ,因而所求的積分是存在的 . 在上半平面內(nèi)有一級(jí)極點(diǎn) ai, 22() zRz za? ?22 e d 2 π Re s[ ( ) e , ]ix izx x i R z aixa???? ???e2 l im 2 π
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