復(fù)變函數(shù)與積分變換泰勒級數(shù)(參考版)
2024-08-24 09:37本頁面
【正文】 復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復(fù)變函數(shù)與積分變換特別的，當(dāng)洛朗級數(shù)的系數(shù)公式 101 ( ) d . ( 0 , 1 , 2 , )2 π ()n nCfizz zz ?? ? ? ???1n ?? 時 ， 有 ???CdzzfiC )(2 11 ? 12)( ??? ? CidzzfC ?（即可利用 Laurent系數(shù)計算積分） 其中 C為圓環(huán)域 R1|zz0|R2內(nèi)的任何一條簡單閉曲線 ,f(z)在此圓環(huán)域內(nèi)解析。 O ?i i 復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復(fù)變函數(shù)與積分變換i?0在復(fù)平面內(nèi)有一個奇點 : z=0在以 i為中心的圓周 :|z+i|=1上 . 因此 , f (z)在以 i為中心的圓環(huán)域內(nèi)的展開式有二個 : 1)在 0|z+i|1中的洛朗展開式 。 2)在 1|zi|2中的洛朗展開式 。 函數(shù)可以在以 z0為中心的 (由奇點隔開的 )不同圓環(huán)域內(nèi)解析 , 因而在各個不同的圓環(huán)域中有不同的洛朗展開式 (包括泰勒展開式作為它的特例 ). 我們不要把這種情形與洛朗展開式的唯一性相混淆 . 所謂洛朗展開式的唯一性 , 是指函數(shù)在某一個給定的圓環(huán)域內(nèi)的洛朗展開式是唯一的 . 復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復(fù)變函數(shù)與積分變換 例如在 z=i和 z=i處將函數(shù) 展 為洛朗級數(shù)。 iii) 2|z| +? 內(nèi)是處處解析的 , 可把 f(z)在這些區(qū)域內(nèi)展開成洛朗級數(shù) . ? ? ? ? ? ?11 12? ??例 把 在 復(fù) 平 面 上 展 開 為 的 冪 級 數(shù) 。 C z0 R1 R2 復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復(fù)變函數(shù)與積分變換稱等式為 f(z)在以 z0為中心的圓環(huán)域 R1|zz0|R2內(nèi)的洛朗 (Laurent)展開式 , 它右端的級數(shù)稱為 f(z)在此圓環(huán)域內(nèi)的 洛朗級數(shù) . 一個在某圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)展開為含有正 ,負冪項的級數(shù)是唯一的 , 這個級數(shù)就是 f(z)的洛朗級數(shù) . 根據(jù)由正負整次冪項組成的級數(shù)的唯一性 ,一般可以用代數(shù)運算 , 代換 , 求導(dǎo)和積分等方法去展開 , 以求得洛朗級數(shù)的展開式 . 復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復(fù)變函數(shù)與積分變換解 ： 函數(shù) f(z)在圓環(huán)域 i) 0|z|1。 10 0 1 00 1 0 0( ) ( ) ( )( ) ( ) ,?????? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? nnnnnnnc z z c z z c z zc c z z c z z 現(xiàn)在反問 , 在圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)是否一定能夠展開成上述含正、負冪的冪級數(shù)呢 ?先看下例。 當(dāng) 時 , 原 級數(shù) 處 處 發(fā) 散復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復(fù)變函數(shù)與積分變換在收斂圓環(huán)域內(nèi)具有 冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)的許多性質(zhì) 。 | | 1x ?復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復(fù)變函數(shù)與積分變換洛朗級數(shù) 一個以 z0為中心的圓域內(nèi)解析的函數(shù) f (z), 可以在該圓域內(nèi)展開成 zz0的冪級數(shù) . 如果 f (z)在 z0處不解析 , 則在 z0 的鄰域內(nèi)就不能用 zz0的冪級數(shù)來表示 . 但是這種情況在實際問題中卻經(jīng)常遇到 . 因此 , 在本節(jié)中將討論在以 z0 為中心的圓環(huán)域內(nèi)的解析函數(shù)的級數(shù)表示法 . 討論下列形式的級數(shù) : 10 0 1 00 1 0 0( ) ( ) ( )( ) ( ) ,?????? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? nnnnnnnc z z c z z c z zc c z z c z z可將其分為兩部分考慮 : 復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復(fù)變函數(shù)與積分變換0 0 1 0 0010 1 0 01( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )???? ? ?? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ???正 冪 項 部 分負 冪 項 部 分nnnnnnnnnnc z z c c z z c z zc z z c z z c z z只有正冪項和負冪項都收斂時 ,原級數(shù) 才 收斂于它們的和 . 正冪項是冪級數(shù) , 設(shè)其收斂半徑為 R2： 20 1 211( ) ,nnnnnnc z z c t c t c t?? ?? ? ? ???? ? ? ?
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