復變函數(shù)與積分變換洛朗級數(shù)(參考版)
2024-08-24 12:51本頁面
【正文】 mzzezf 1)( ??對 討論函數(shù) 在 處的性態(tài)。| z = k ?? = co s z | z = k ?? = ( ? 1)k ? 0, 所以 z = k ?? 是 s i n z 的一級零點 , 也就是 1 / s i n z 的一級極點 . 該定理為判斷函數(shù)的極點提供了更為簡單的判別方法 . 001()()z f z m z mfz?定 理 ： 是 的 級 極 點 是 的 級 零 點復變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復變函數(shù)與積分變換? ??? ????? ?? !!21 1)( 11 mzzzzf mn01zn? ? ?為 級極點.2 1 ( 0 )zz k i e kp= ?為 的一級零點2 ( ) ( 0 ) .z k i f z k?? ? ?為 的一級極點( ) ( 0 )1nzzf z ne???例 2 求 的 極 點 。( ) l im ( ) 。 因 為 函 數(shù) 在的 去 心 鄰 域 內(nèi) 的 洛 朗 級 數(shù)中 不 含 負 冪 項 如 果 定 義 在 的 值 為則 在 點 便 為 解 析 的 了復變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復變函數(shù)與積分變換2. 極點 如果在洛朗級數(shù)中只有有限多個 zz0的負冪項 , 且其中關于 (zz0)1的最高冪為 (zz0)m, 即 f(z)=cm(zz0)m +...+c2(zz0)2+c1(zz0)1+c0+ c1(zz0)+...(m?1, cm?0),則稱孤立奇點 z0為函數(shù) f (z)的 m級極點 . 上式也可寫成 : 01( ) ( ) *( ) mf z g zzz? ， （ ） 其中 g (z) = cm+ cm+1(zz0) + cm+2(zz0)2 +..., 在 |zz0|d 內(nèi)是解析的函數(shù) , 且 g (z0) ? 0 . 反過來 , 當任何一個函數(shù) f (z) 能表示為 (*)的形式 , 且 g (z0) ? 0 時 , 則 z0是 f (z)的 m級極點 . 復變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復變函數(shù)與積分變換如果 z0為 f(z)的極點 , 由 (*)式知 0l im ( ) .zz fz? ??310 zezz??思 考 ： 是 的 幾 級 極 點 ？ ( 展 洛 朗 級 數(shù) 判 )0 ()z f z m為 的 級 極 點0l im ( ) ( ) .zz fz?? ? ? ?， 不 存 在 但 為01( ) ( )( ) mf z g zzz??復變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復變函數(shù)與積分變換3. 本性奇點 如果在洛朗級數(shù)中含有無窮多 zz0的負冪項 ,則孤立奇點 z0稱為 f (z)的本性奇點 . 1112( ) 0 .1112 ! !znzf z e ze z z zn? ? ???? ? ? ? ? ?例 如 以 為 它 的 本 性 奇 點 因 為有 無 窮 多 負 冪 項 。 孤立奇點 如果函數(shù) f (z)雖在 z0不解析 , 但在 z0的某一個去心鄰域0|zz0|d內(nèi)處處解析 , 則 z0稱為 f (z)的 孤立奇點 . 函數(shù)的奇點并非都是孤立的 . 例如 z =0 是函數(shù) ? ?1()si n 1fzz? 的非孤立奇點。 復變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復變函數(shù)與積分變換特別的，當洛朗級數(shù)的系數(shù)公式 101 ( ) d . ( 0 , 1 , 2 , )2 π ()n nCfiz? ?? ?? ? ? ???1n ?? 時 ， 有 ???CdzzfiC )(2 11 ? 12)( ??? ? CidzzfC ?（即可利用 Laurent系數(shù)計算積分） 其中 C為圓環(huán)域 R1|zz0|R2內(nèi)的任何一條簡單閉曲線 ,f(z)在此圓環(huán)域內(nèi)解析。 O ?i i 復變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integr
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