復(fù)變函數(shù)與積分變換(參考版)
2025-05-15 07:05本頁(yè)面
【正文】 例 2 討論 22Im( ) ( 0 )zzf z zz???? ?irez解： ?2s i n)( rzf ?0)(l i m0???zfz0)0( ?f補(bǔ)充定義 ( ) 0f z z?? 在 連續(xù).的連續(xù)性。 (5)有界閉區(qū)域 D上的連續(xù)函數(shù)必一致連續(xù) . 例題 1 討論 zzf a rg)( ?的連續(xù)性。 復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)性 定義 設(shè)函數(shù) w = f (z)定義在 z0的去心鄰域 0|z?z0|r內(nèi) , 如果有一確定的數(shù) A存在 , 對(duì)于任意給定的 e 0, 相應(yīng)地必有一正數(shù) d (e) (0 d ?r), 使得當(dāng) 0 |z?z0|d 時(shí)有| f (z)?A |e ,則稱 A為 f (z)當(dāng) z趨向于 z0時(shí)的 極限 , 記作 Azfzz??)(lim0或記作當(dāng) z?z0 時(shí) , f (z)?A. 幾何意義 : x y O z0 d z O u v A e f(z) 0l im ( )zzA f z?? 意味著：0 ()zz f z當(dāng) 從平面上任一方向、沿任何路徑、以任意方式趨近于 時(shí)， 均以A 為極限。 C39。 u=x , v=y x y O u v O A B C z1 z2 A39。就是說(shuō) D中任何兩點(diǎn)都可以用完全屬于 D 的一條折線連接起來(lái) . 設(shè) D為復(fù)平面內(nèi)的一個(gè)區(qū)域 , 如果點(diǎn) P不屬于 D, 但在P的任意小的鄰域內(nèi)總包含有 D中的點(diǎn) , 這樣的點(diǎn) P稱為 D的 邊界點(diǎn) . D的所有邊界點(diǎn)組成 D的 邊界 . 區(qū)域的邊界可能是由幾條曲線和一些孤立的點(diǎn)所組成的 . 區(qū)域 D與它的邊界一起構(gòu)成閉區(qū)域或閉域 , 記作 ?D. 如果一個(gè)區(qū)域可以被包含在一個(gè)以原點(diǎn)為中心的圓里面 , 即存在正數(shù) M, 使區(qū)域 D的每個(gè)點(diǎn) z都滿足 |z|M, 則稱 D為 有界的 , 否則稱為 無(wú)界的 . 2. 單連通域與多連通域 平面曲線 在數(shù)學(xué)上 , 經(jīng)常用參數(shù)方程來(lái)表示各種平面曲線 . 如果 x(t)和 y(t)是兩個(gè)連續(xù)的實(shí)變函數(shù) , 則方程組 x=x(t), y=y(t), (a?t?b) 代表一條平面曲線 , 稱為 連續(xù)曲線 . 如果令 z(t)=x(t)+iy(t) 則此曲線可用一個(gè)方程 z=z(t) (a?t?b) 來(lái)代表 . 這就是平面曲線的復(fù)數(shù)表示式 . 設(shè) C: z=z(t) (a?t?b)為一條連續(xù)曲線 , z(a)與 z(b)分別為 C的 起點(diǎn) 與 終點(diǎn) . 對(duì)于滿足 at1b, a?t2?b 的 t1與 t2, 當(dāng) t1?t2而有 z(t1)=z(t2) 時(shí) , 點(diǎn) z(t1)稱為曲線 C的 重點(diǎn) . 沒(méi)有重點(diǎn)的連續(xù)曲線 C, 稱為 簡(jiǎn)單曲線 或 若爾當(dāng) (Jardan)曲線 . 如果簡(jiǎn)單曲線 C的起點(diǎn)與終點(diǎn)閉合 , 即 z(a)=z(b) , 則曲線 C 稱為簡(jiǎn)單閉曲線 . z(a)=z(b) 簡(jiǎn)單 ,閉 z(a) z(b) 簡(jiǎn)單 ,不閉 z(a)=z(b) 不簡(jiǎn)單 ,閉 不簡(jiǎn)單 ,不閉 z(a) z(b) 任意一條簡(jiǎn)單閉曲線 C 把整個(gè)復(fù)平面唯一地分成三個(gè)互不相交的點(diǎn)集 , 其中除去 C 外 , 一個(gè)是有界區(qū)域 , 稱為 C 的 內(nèi)部 , 另一個(gè)是無(wú)界區(qū)域 , 稱為 C 的 外部 , C 為它們的公共邊界 . 簡(jiǎn)單閉曲線的這一性質(zhì) , 其幾何直觀意義是很清楚的 . 內(nèi)部 外部 C 定義 復(fù)平面上的一個(gè)區(qū)域 B, 如果在其中任作一條簡(jiǎn)單閉曲線 , 而曲線的內(nèi)部總屬于 B, 就稱為 單連通域 , 一個(gè)區(qū)域如果不是單連通域 , 就稱為 多連通域 . 單連通域 多連通域 167。 區(qū)域 1. 區(qū)域的概念 平面上以 z0為中心 , d (任意的正數(shù) )為半徑的圓 : |z?z0|d 內(nèi)部的點(diǎn)的集合稱為 z0的 鄰域 , 而稱由不等式 0|z?z0|d 所確定的點(diǎn)集為 z0的 去心鄰 域 . 包括無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)自身在內(nèi)且滿足 |z|M 的所有點(diǎn)的集合 , 其中實(shí)數(shù) M0 , 稱為 無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的鄰域 . 即它是圓 |z|=M 的外部且包含無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)本身 . 不包括無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)本身的僅滿足 |z|M 的所有點(diǎn)稱為 無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的去心鄰域 , 也記作 M|z|?. 0 M |z|M 設(shè) G為一平面點(diǎn)集 , z0為 G中任意一點(diǎn) . 如果存在 z0的一個(gè)鄰域 , 該鄰域內(nèi)的所有點(diǎn)都屬于 G, 則稱 z0為 G的 內(nèi)點(diǎn) . 如果 G內(nèi)的每個(gè)點(diǎn)都是它的內(nèi)點(diǎn) , 則稱 G為 開(kāi)集 平面點(diǎn)集 D稱為一個(gè) 區(qū)域 , 如果它滿足下列兩個(gè)條件 : 1) D是一個(gè)開(kāi)集 。 O x y ?2 2i y??x 3 ) I m ( ) 4 .iz??設(shè) z = x + i y , 那末 (1 )I m ( ) 1i z x y ii z y? ? ? ?? ? ?可得所求曲線的方程為 y ? ?3 . O y x y??3 167。2 ) | 2 | | 2 |。 很多平面圖形能用復(fù)數(shù)形式的方程 (或不等式 )來(lái)表 示 。 按照乘積的定義 , 當(dāng) z1?0
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