復變函數(shù)與積分變換(存儲版)
【正文】 zxyzxyz,a r c t a n,a r c t a n,a r c t a na r gpp當 z = 0 時 , | z | = 0, 而幅角不確定 . arg z可由下列關系確定 : a r c ta n22 yxpp? ? ?其中說明：當 z 在第二象限時， a r g 022 zpp? p ? p? ? ? ? ? ? ? ?ta n ( ) ta n ( ) ta n yx? p p ? ?? ? ? ? ? ? ?a r c ta n yx?p? ? ?a r c ta n .yx?p? ? ? ),( zA r gzr ?? ?)s i n(c o s ?? irz ???irez ? 利用直角坐標與極坐標的關系 : x = r cos?, y = r sin?, 可以將 z表示成 三角表示式 : 利用歐拉公式 e i? = cos? + i sin? 得 指數(shù)表示式 : 例 1 將下列復數(shù)化為三角表示式與指數(shù)表示式 . 1 ) 1 2 2 。iz z i e p?? ? ?1 2,A rgz npp??2 2,2A rg z mp p??解： ? ?1 2 1 222,A rg z z A rg z A rg z kk m n Zpp? ? ? ? ??若取 1,k ?則 ? ?1 , 1 , 。 O x y ?2 2i y??x 3 ) I m ( ) 4 .iz??設 z = x + i y , 那末 (1 )I m ( ) 1i z x y ii z y? ? ? ?? ? ?可得所求曲線的方程為 y ? ?3 . O y x y??3 167。 C39。例 2 討論 22Im( ) ( 0 )zzf z zz???? ?irez解： ?2s i n)( rzf ?0)(l i m0???zfz0)0( ?f補充定義 ( ) 0f z z?? 在 連續(xù).的連續(xù)性。 u=x , v=y x y O u v O A B C z1 z2 A39。2 ) | 2 | | 2 |。 z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 . 復數(shù)運算滿足交換律 ,結合律和分配律 : 1 . 四則運算 加減法與平行四邊形 法則的幾何意義 : 乘、除法的幾何意義 : 111 iz r e ?? 222 iz r e ??12()1 2 1 2 iz z r r e ????, 1 2 1 2 1 21 2 1 2rgz z r r z zA r g z z A z A r g z? ??????, 1z2z12zz?12zz?, 定理 1 兩個復數(shù)乘積的模等于它們的模的乘積 , 兩個復 數(shù)乘積的幅角等于它們幅角的和 . 等式 Arg(z1z2)=Arg z1+Arg z2, 的意思是等式的兩 邊都是無限集合 , 兩邊的集合相等 , 即每給定等式左邊 的一個數(shù) , 就有等式右邊的一個數(shù)與之對應 , 反之亦然 . 幾何上 z1z2 相當于將 z2 的模擴大 |z1| 倍并旋轉一個角度 Arg z1 . 0 1 1z2z12zz1r2r12rr1?2?1?12???xy1iz12z例 2：設 121 , .z z i? ? ?求 ： 1 2 。 一對有序實數(shù) （ ） 構成一個 復數(shù) ， 記為 . 自變量為復數(shù)的函數(shù)就是復變函數(shù) , 它是本課程的研究對象 .由于在中學階段已經(jīng)學過復數(shù)的概念和復數(shù)的運算 ,本章將在原有的基礎上作簡要的復習和補充 。本課程是數(shù)學學科的一門重要分支，同時也是數(shù)學中的其它分支如 《 微分方程 》 、 《 積分變換 》 等的基礎理論課。 ? ?10 40xx??5 15 5 15? ? ? ?與c os si niei? ????a ib? 復變函數(shù)的 理論和方法在數(shù)學，自然科學和工程技術中有著廣泛的應用，是解決諸如流體力學，電磁學，熱學彈性理論中平面問題的有力工具。復變函數(shù)與積分變換 Complex Functions and Integral Transformation 云南師范大學物理與電子信息學院 和偉 引 言 在十六世紀中葉， G. Cardano (15011576) 在研究一元二次 方程 時引進了復數(shù)。然而一直到 (挪威 .17451818)和 (法國 .17681822）將復數(shù)用平面向量或點來表示，以及 (德國 17771855)與 (愛爾蘭 18051865) 定義復數(shù) 為一對有序實數(shù)后，才消除人們對復數(shù)真實性 的長久疑慮，“復變函數(shù)”這一數(shù)學分支到此才順利地得到建立和 發(fā)展。 選用教材 ： 《 復變函數(shù)與積分變換 》 高等教育出版社 . 課程的基本要求 在課程的學習中，要正確理解和掌握復變函數(shù)中的數(shù)學概念和方法，逐步培養(yǎng)利用這些概
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