復變函數(shù)與積分變換(編輯修改稿)
2025-06-16 07:05 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 方 ? ?c os sinn n in nz r e r n i n? ??? ? ?De Moivre 公式： ? ?c o s sin c o s sinni n i n? ? ? ?? ? ?2 ）開方 : 若滿足， 則稱 w為 z的 n次方根 ， nwz?記為 .nwz?zi A r gwi n A r gn ezew ?2( 0 , 1 , 2 , , 1 )nwzar gz kArg wnknp? ???????????于是 推得 2122c os si n( 0 , 1 , , 1 )ar g z kin nnnz z earg z k arg z krinnknppp??????????????從而 幾何解釋： z1/n的 n個值就是以原點為中心 , r1/n為半徑的圓 的內(nèi)接正 n邊形的 n個頂點。 例 2 求 4 ?[解 ] 因為 1 2 c o s s i n ,44ii pp??? ? ?????所以 8422441 2 c o s sin , ( 0 , 1 , 2 , 3 )44kki i kpppp??????? ? ? ?????即 808182832 c os si n ,16 16992 c os si n ,16 1617 172 c os si n ,16 1625 252 c os si n .16 16wiwiwiwipppppppp????????????????????????????????四個根是內(nèi)接于中心在原點半徑為 21/8的圓的正方形的四個頂點 . 28 21+i w0 w1 w2 w3 O x y 167。 很多平面圖形能用復數(shù)形式的方程 (或不等式 )來表 示 。 也可以由給定的復數(shù)形式的方程 (或不等式 )來確定 它所表示的平面圖形 . 例 3 將通過兩點 z1=x1+iy1與 z2=x2+iy2的直線用復數(shù)形式的方 程來表示 . [解 ] 通過點 (x1,y1)與 (x2,y2)的直線可用參數(shù)方程表示為 1 2 11 2 1( ) ,()( ) .x x t x xty y t y y? ? ??? ? ? ? ? ??? ? ?? 因此 , 它的復數(shù)形式的參數(shù)方程為 z=z1+t(z2?z1). (??t+?) 由此得知由 z1到 z2的直線段的參數(shù)方程可以寫成 z=z1+t(z2?z1). (0?t?1) 取 12t ?得知線段 12zz的中點為 122zzz ?? 例 4 求下列方程所表示的曲線 : 1 ) | | 2 。2 ) | 2 | | 2 |。3 ) I m ( ) 4 .ziz i ziz??? ? ???解： 1 ) | | 2zi??設 z = x + i y , 方程變?yōu)? 2222| ( 1 ) | 2( 1 ) 2 ,( 1 ) 4x y ixyxy? ? ?? ? ?? ? ??i O x y 2 ) | 2 | | 2 |z i z? ? ? 幾何上 , 該方程表示到點 2i和 ?2的距離相等的點的軌跡 , 所以方程表示的曲線就是連接點 2i和 ?2的線段的垂直平分線 , 方程為 y ? ? x , 也可用代數(shù)的方法求出。 O x y ?2 2i y??x 3 ) I m ( ) 4 .iz??設 z = x + i y , 那末 (1 )I m ( ) 1i z x y ii z y? ? ? ?? ? ?可得所求曲線的方程為 y ? ?3 . O y x y??3 167。 復數(shù)域的幾何模型 復球面 0 N x1 x2 x3 o z(x,y) x y P(x1,x2,x3) x1 x2 x3 N(0,0,2r) 除了復數(shù)的平面表示方法外 , 還可以用球面上的點來表示復數(shù) . 對復平面內(nèi)任一點 z, 用直線將 z與 N相連 , 與球面相交于 P點 , 則球面上除 N點外的所有點和復平面上的所有點有一一對應的關(guān)系 , 而 N點本身可代表無窮遠點 , 記作 ?. 這樣的球面稱作復球面 . 擴充復數(shù)域 引進一個 “ 新 ” 的數(shù) ∞ : ????擴充復平面 引進一個 “ 理想點 ” : 無窮遠點 ∞ . 約定 : ),0(0??? aa ),(0 ????aa )( ????? aa)0( ???????? aaa)( ????????? aaa167。 區(qū)域 1. 區(qū)域的概念 平面上以 z0為中心 , d (任意的正數(shù) )為半徑的圓 : |z?z0|d 內(nèi)部的點的集合稱為 z0的 鄰域 , 而稱由不
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