復(fù)變函數(shù)與積分變換(完整版)
【正文】 點 z, 用直線將 z與 N相連 , 與球面相交于 P點 , 則球面上除 N點外的所有點和復(fù)平面上的所有點有一一對應(yīng)的關(guān)系 , 而 N點本身可代表無窮遠(yuǎn)點 , 記作 ?. 這樣的球面稱作復(fù)球面 . 擴充復(fù)數(shù)域 引進一個 “ 新 ” 的數(shù) ∞ : ????擴充復(fù)平面 引進一個 “ 理想點 ” : 無窮遠(yuǎn)點 ∞ . 約定 : ),0(0??? aa ),(0 ????aa )( ????? aa)0( ???????? aaa)( ????????? aaa167。n m n m? ? ? ? ?若取 0,mn?? 則 ?? ?221122 1 11 22110zzzzzz z zz zArg z Arg Arg zz????? ? ???????21()2211izr ezr????22112211zzzzzArg Argz Argzz??????????。 2 ) s i n c o s .55z i z ipp? ? ? ? ?[解 ] 1) | | 1 2 4 4 .rz? ? ? ?z在第三象限 , 因此 2 3 5a r c ta n a r c ta n .3612? p p p???? ? ? ? ? ??????因此 56554 c o s ( ) s in ( ) 466iz i e ppp ???? ? ? ? ?????2) 顯然 , r = | z | = 1, 又 3sin c o s c o s ,5 2 5 1 03c o s sin sin .5 2 5 1 0p p ppp p pp??? ? ???????? ? ?????因此 31033c o s s in1 0 1 0iz i e ppp? ? ?練習(xí)： 寫出 的輻角和它的指數(shù)形式。 第一章復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)基本要求 算。 復(fù)變函數(shù)中的許多概念，理論和方法是實變函數(shù)在復(fù)數(shù)領(lǐng)域的推廣和發(fā)展 。事實上， 復(fù)數(shù)被 Cardano引入后，在很長一段時間內(nèi)不被人們所理睬，并 被認(rèn)為是沒有意義的，不能接受的“虛數(shù)”。直到十七與十八世紀(jì)， 隨著微積分的產(chǎn)生與發(fā)展，情況才有好轉(zhuǎn)。 復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Functions and Integral Transformation 課程性質(zhì) ： 必修 選課對象 ： 電子類各專業(yè)。 。 132iz ???解： ? ?3 2 2a r g a r c ta n a r c ta n 3 ,1 2 3 3z ppp p p? ? ? ? ? ? ? ? ??2a r g 2 2 , ,3A r g z z k k k Zppp? ? ? ? ?1,rz?? 23 .ize p?167。 按照乘積的定義 , 當(dāng) z1?0時 , 有 定理 2 兩個復(fù)數(shù)的商的模等于它們的模的商 , 兩個復(fù)數(shù) 的商的輻角等于被除數(shù)與除數(shù)的幅角之差 . ?2 . 乘方與開方運算 1）乘方 ? ?c os sinn n in nz r e r n i n? ??? ? ?De Moivre 公式： ? ?c o s sin c o s sinni n i n? ? ? ?? ? ?2 ）開方 : 若滿足， 則稱 w為 z的 n次方根 ， nwz?記為 .nwz?zi A r gwi n A r gn ezew ?2( 0 , 1 , 2 , , 1 )nwzar gz kArg wnknp? ???????????于是 推得 2122c os si n( 0 , 1 , , 1 )ar g z kin nnnz z earg z k arg z krinnknppp??????????????從而 幾何解釋： z1/n的 n個值就是以原點為中心 , r1/n為半徑的圓 的內(nèi)接正 n邊形的 n個頂點。 區(qū)域 1. 區(qū)域的概念 平面上以 z0為中心 , d (任意的正數(shù) )為半徑的圓 : |z?z0|d 內(nèi)部的點的集合稱為 z0的 鄰域 , 而稱由不等式 0|z?z0|d 所確定的點集為 z0的 去心鄰 域 . 包括無窮遠(yuǎn)點自身在內(nèi)且滿足 |z|M 的所有點的集合 , 其中實數(shù) M0 , 稱為 無窮遠(yuǎn)點的鄰域 . 即它是圓 |z|=M 的外部且包含無窮遠(yuǎn)點本身 . 不包括無窮遠(yuǎn)點本身的僅滿足 |z|M 的所有點稱為 無窮遠(yuǎn)點的去心鄰域 , 也記作 M|z|?. 0 M |z|M 設(shè) G為一平面點集 , z0為 G中任意一點 . 如果存在 z0的一個鄰域 , 該鄰域內(nèi)的所有點都屬于 G, 則稱 z0為 G的 內(nèi)點 . 如果 G內(nèi)的每個點都是它的內(nèi)點 , 則稱 G為 開集 平面點集 D稱為一個 區(qū)
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