復(fù)變函數(shù)與積分變換-wenkub.com
2025-05-07 07:05 本頁面
【正文】 x 0 0 2p2p2p?2p?pp??a r ga r gzzpp? ? ?在區(qū)域內(nèi)連續(xù)，a r g z p?在負(fù)實(shí)軸上不連續(xù)。 w1 w2 設(shè)函數(shù) w = z2 = (x+iy)2 = x2?y2+i2xy , 有 u = x2?y2, v = 2xy x y O u v O z1 z2 w2 z3 w3 w1 123121ziziz?????1231341wwiw??? ? ??I m 0R e 01zyzxz?????22I m 2 01w x yw u v??? ? ? 函數(shù) w=z2 對應(yīng)于兩個(gè)二元實(shí)變函數(shù) : u=x2?y2, v=2xy 把 z 平面上的兩族 雙曲線 x2?y2 = c1 , 2xy = c2 分別映 射成 w平面上的兩族平行直線 u=c1 , v=c2 . 10 1 ?1 ?1 ?10 ?8 ?6 ?4 ?2 x 2 4 6 8 v=10 1 y ?10 ?8 ?6 ?4 ?2 u=0 2 4 6 8 u v 10 10 ?10 ?10 如果函數(shù) (映射 ) w=f (z) 與它的反函數(shù) (逆映射 ) z =j (w)都是單值的 , 則稱函數(shù) (映射 ) w =f (z)是一一的 . 此時(shí) , 我們也稱集合 D與集合 G是一一對應(yīng)的 . 舉例 ： 曲線在映射下的像 例題 1 ?8: 122 ???? ???? ? zwyxC11z x iyw u iv? ? ? ?? 22 vuivu???2222 , vuvyvuux??????81: 22 ???? vu?: 2 ???? ??? ?? bzwRzC例題 2 Rbwzbw 2:2 ??????例題 3 ?)2(: 2 ??? ???? ? zwtizC22 )43(])2[( titiw ???? uv34: ???例題 4 ?: ??? ??? ? izwxyC)( ixxiw ?? ixx ??? uv ???? :167。 復(fù)變函數(shù) 1. 復(fù)變函數(shù)的定義 定義 設(shè) D 是復(fù)平面中的一個(gè)點(diǎn)集 , wzD f 復(fù)數(shù)? ???? ? ? ? ? ? ? ?,w f z f x iy u x y iv x y? ? ? ? ?稱為復(fù)變函數(shù) . 其確定了自變量為 x和 y的兩個(gè)二元實(shí)變函數(shù) u ,v . 例如 , 考察函數(shù) w = z = x+iy, w = u+iv , 則 u+iv = (x+iy)2 = x2?y2+i2xy , 因而函數(shù) w = z2 對應(yīng)于兩個(gè)二元函數(shù) : u = x2?y2, v = 2xy 在以后的討論中 , D常常是一個(gè)平面區(qū)域 , 稱之為 定義域 , 并且 , 如無特別聲明 , 所討論的函數(shù)均為單值函數(shù) . 2. 映射的概念 函數(shù) w=f (z) 在幾何上可以看做是把 z平面上的一個(gè)點(diǎn)集D(定義集合 )變到 w平面上的一個(gè)點(diǎn)集 G (函數(shù)值集合 )的映射 (或 變換 ). 如果 D 中的點(diǎn) z 被映射 w=f (z) 映射成 G中的點(diǎn) w, 則 w 稱為 z 的 象 (映象 ), 而 z 稱為 w 的 原象 . x u D G Z z w W=f(z) v y W 設(shè)函數(shù) w = z =x – iy 。 復(fù)數(shù)域的幾何模型 復(fù)球面 0 N x1 x2 x3 o z(x,y) x y P(x1,x2,x3) x1 x2 x3 N(0,0,2r) 除了復(fù)數(shù)的平面表示方法外 , 還可以用球面上的點(diǎn)來表示復(fù)數(shù) . 對復(fù)平面內(nèi)任一點(diǎn) z, 用直線將 z與 N相連 , 與球面相交于 P點(diǎn) , 則球面上除 N點(diǎn)外的所有點(diǎn)和復(fù)平面上的所有點(diǎn)有一一對應(yīng)的關(guān)系 , 而 N點(diǎn)本身可代表無窮遠(yuǎn)點(diǎn) , 記作 ?. 這樣的球面稱作復(fù)球面 . 擴(kuò)充復(fù)數(shù)域 引進(jìn)一個(gè) “ 新 ” 的數(shù) ∞ : ????擴(kuò)充復(fù)平面 引進(jìn)一個(gè) “ 理想點(diǎn) ” : 無窮遠(yuǎn)點(diǎn) ∞ . 約定 : ),0(0??? aa ),(0 ????aa )( ????? aa)0( ???????? aaa)( ????????? aaa167。 也可以由給定的復(fù)數(shù)形式的方程 (或不等式 )來確定 它所表示的平面圖形 . 例 3 將通過兩點(diǎn) z1=x1+iy1與 z2=x2+iy2的直線用復(fù)數(shù)形式的方 程來表示 . [解 ] 通過點(diǎn) (x1,y1)與 (x2,y2)的直線可用參數(shù)方程表示為 1 2 11 2 1( ) ,()( ) .x x t x xty y t y y? ? ??? ? ? ? ? ??? ? ?? 因此 , 它的復(fù)數(shù)形式的參數(shù)方程為 z=z1+t(z2?z1). (??t+?) 由此得知由 z1到 z2的直線段的參數(shù)方程可以寫成 z=z1+t(z2?z1)
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