復(fù)變函數(shù)與積分變換(已修改)
2025-05-27 07:05 本頁(yè)面
【正文】 復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Functions and Integral Transformation 云南師范大學(xué)物理與電子信息學(xué)院 和偉 引 言 在十六世紀(jì)中葉， G. Cardano (15011576) 在研究一元二次 方程 時(shí)引進(jìn)了復(fù)數(shù)。他發(fā)現(xiàn)這個(gè)方程沒(méi)有根，并 把這個(gè)方程的兩個(gè)根形式地表為 。在當(dāng)時(shí)， 包括他自己在內(nèi)，誰(shuí)也弄不清這樣表示有什麼好處。事實(shí)上， 復(fù)數(shù)被 Cardano引入后，在很長(zhǎng)一段時(shí)間內(nèi)不被人們所理睬，并 被認(rèn)為是沒(méi)有意義的，不能接受的“虛數(shù)”。直到十七與十八世紀(jì)， 隨著微積分的產(chǎn)生與發(fā)展，情況才有好轉(zhuǎn)。特別是由于 的研究結(jié)果，復(fù)數(shù)終于起了重要的作用。例如大家所熟知的 Euler公式 揭示了復(fù)指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)之 間的關(guān)系。然而一直到 (挪威 .17451818)和 (法國(guó) .17681822）將復(fù)數(shù)用平面向量或點(diǎn)來(lái)表示，以及 (德國(guó) 17771855)與 (愛(ài)爾蘭 18051865) 定義復(fù)數(shù) 為一對(duì)有序?qū)崝?shù)后，才消除人們對(duì)復(fù)數(shù)真實(shí)性 的長(zhǎng)久疑慮，“復(fù)變函數(shù)”這一數(shù)學(xué)分支到此才順利地得到建立和 發(fā)展。 ? ?10 40xx??5 15 5 15? ? ? ?與c os si niei? ????a ib? 復(fù)變函數(shù)的 理論和方法在數(shù)學(xué)，自然科學(xué)和工程技術(shù)中有著廣泛的應(yīng)用，是解決諸如流體力學(xué)，電磁學(xué)，熱學(xué)彈性理論中平面問(wèn)題的有力工具。 復(fù)變函數(shù)中的許多概念，理論和方法是實(shí)變函數(shù)在復(fù)數(shù)領(lǐng)域的推廣和發(fā)展 。 復(fù)變函數(shù)的 理論和方法在數(shù)學(xué)，自然科學(xué)和工程技術(shù)中有著廣泛的應(yīng)用，是解決諸如流體力學(xué)，電磁學(xué)，熱學(xué)彈性理論中平面問(wèn)題的有力工具。 復(fù)變函數(shù)中的許多概念，理論和方法是實(shí)變函數(shù)在復(fù)數(shù)領(lǐng)域的推廣和發(fā)展 。 復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Functions and Integral Transformation 課程性質(zhì) ： 必修 選課對(duì)象 ： 電子類(lèi)各專(zhuān)業(yè)。 內(nèi)容概要 ： 介紹復(fù)變函數(shù)的基本理 論和方 法。為學(xué)生學(xué)習(xí)有關(guān)專(zhuān)業(yè)課和 擴(kuò)大數(shù)學(xué)知識(shí)面提供必要的數(shù) 學(xué)基礎(chǔ)。 選用教材 ： 《 復(fù)變函數(shù)與積分變換 》 高等教育出版社 . 課程的基本要求 在課程的學(xué)習(xí)中，要正確理解和掌握復(fù)變函數(shù)中的數(shù)學(xué)概念和方法，逐步培養(yǎng)利用這些概念和方法解決實(shí)際問(wèn)題的能力 . 與其它課程的聯(lián)系和分工 復(fù)變函數(shù)中的許多概念和方法是 《 高等數(shù)學(xué) 》 中的實(shí)變量函數(shù)在復(fù)數(shù)領(lǐng)域的推廣和發(fā)展，因此在學(xué)習(xí)本課程之前必須學(xué)習(xí) 《 高等數(shù)學(xué) 》 課程。本課程是數(shù)學(xué)學(xué)科的一門(mén)重要分支，同時(shí)也是數(shù)學(xué)中的其它分支如 《 微分方程 》 、 《 積分變換 》 等的基礎(chǔ)理論課。 《 積分變換 》 與 《 復(fù)變函數(shù) 》 有著密切的聯(lián)系 ,《 積分變換 》 也是 《 復(fù)變函數(shù) 》 的后繼課程之一 。 對(duì)于理工科類(lèi)專(zhuān)業(yè)的學(xué)生來(lái)說(shuō)它們是 《 信號(hào)與系統(tǒng) 》 、 《 通信原理 》 、 《 數(shù)字信號(hào)處理 》 、 《 小波變換 》 等相關(guān)課程的基礎(chǔ)理論課。 第一章復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)基本要求 算。 。 —— 映射。 。 第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù) 167。 一對(duì)有序?qū)崝?shù) （ ） 構(gòu)成一個(gè) 復(fù)數(shù) ， 記為 . 自變量為復(fù)數(shù)的函數(shù)就是復(fù)變函數(shù) , 它是本課程的研究對(duì)象 .由于在中學(xué)階段已經(jīng)學(xué)過(guò)復(fù)數(shù)的概念和復(fù)數(shù)的運(yùn)算 ,本章將在原有的基礎(chǔ)上作簡(jiǎn)要的復(fù)習(xí)和補(bǔ)充 。 然后再介紹復(fù)平面上的區(qū)域以及復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念 , 為進(jìn)一步研究解析函數(shù)理論和方法奠定必要的基礎(chǔ) . x, y 分別稱(chēng)為 Z 的 實(shí)部 和 虛部 , 記作 x=Re(Z), y=Im(Z), . 1i ??稱(chēng)為 Z 的共軛復(fù)數(shù)。 與實(shí)數(shù)不同 , 一般說(shuō)來(lái) , 任意兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大小 . 兩個(gè)復(fù)數(shù)相等 他們的實(shí)部和虛部都相等 特別地， ? : iyxz ??復(fù)數(shù)的表示法 1)點(diǎn)表示 iyxz ??復(fù)數(shù) ( , )X O Y z x y? 平面 上的點(diǎn)y z(x,y) x x 0 y r ?復(fù)平面 實(shí)軸 虛軸 2) 向量表示 復(fù)數(shù) z的輻角 (argument) 記作 Arg z=? . 任何一個(gè)復(fù)數(shù) z?0有無(wú)窮多個(gè)幅角 ,將滿(mǎn)足 ?p ?0?p 的 ?0 稱(chēng)為 Arg z的主值 , 記作 ?0=arg z .則 Arg z=?0+2kp =arg z +2kp (k為任意整數(shù) ) ?復(fù)數(shù)z= x+ iy 矢徑z0 x y x y ? z=x+iy z22z z r x y? ? ? ?復(fù)數(shù) z的模 zx ?與 軸正向的夾角|||||,||||||,||||,|||22zzzzyxzzyzx??
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