數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)-對稱性在積分中的應(yīng)用(參考版)
2024-08-17 11:43本頁面
【正文】 例1 計(jì)算三重積分，其中是有平面與三個(gè)坐標(biāo)面所圍成的四面體解：積分區(qū)域關(guān)于面對稱，被積函數(shù)是z的奇函數(shù)，所以=0例2 計(jì)算三重積分，其中是由曲面及平面 和所圍成的空間閉區(qū)域。若空間區(qū)域關(guān)于z軸對稱，則當(dāng)在上是x，y的奇函數(shù)時(shí)，=0；當(dāng)在上是x，y的偶函數(shù)時(shí)，=2，其中是位于過z軸的平面一側(cè)的部分。若滿足關(guān)系式,則稱是關(guān)于x，y，z的奇函數(shù)；滿足關(guān)系式，則稱是關(guān)于x，y，z的偶函數(shù)。若滿足關(guān)系式，則稱是關(guān)于x，y的奇函數(shù)；滿足關(guān)系式，則稱是關(guān)于x，y的偶函數(shù)。若滿足關(guān)系式，則稱是關(guān)于z的奇函數(shù)；滿足關(guān)系式，則稱是關(guān)于z的偶函數(shù)。若對則稱關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱。定理1：設(shè)有界閉區(qū)域,，那么（?。┤羰顷P(guān)于（或）的奇函數(shù)，則=0（ⅱ）若是關(guān)于（或）的偶函數(shù)，則=2，注釋：設(shè)函數(shù)在有界閉區(qū)域上連續(xù)（?。┤絷P(guān)于軸對稱，則其中是的右半部分:= （ii）若D關(guān)于x軸對稱，則其中是的上半部分：=定理2：設(shè)有界閉區(qū)域D關(guān)于x軸和y軸均對稱，函數(shù)在D上連續(xù)且關(guān)和均為偶函數(shù)，則其中是的第一象限的部分：=定理3：則設(shè)有界閉區(qū)域D關(guān)于原點(diǎn)對稱，函數(shù)在上連續(xù)，則其中=，=例1：計(jì)算，其中D由下列雙紐線圍成：(1)(2) 解：（1）由于圍成的區(qū)域關(guān)于x軸y軸均對稱，而被積函數(shù)關(guān)于（或軸）為奇函數(shù)則有 （2）由圍成的區(qū)域?qū)ΨQ于原點(diǎn)，而被積函數(shù)是關(guān)于,的偶函數(shù)則有=由極坐標(biāo)知，代入得且由，知?jiǎng)t于是=定理4：設(shè)有界閉區(qū)域D關(guān)于對稱, 函數(shù)在上連續(xù)，則=例2：設(shè)函數(shù)在上的正值連續(xù)函數(shù)證明：，其中為常數(shù)，證明：∵積分區(qū)域D關(guān)于對稱∴=設(shè)由函數(shù)關(guān)于兩個(gè)變量，以上兩式相,得，從而一般地，有以下定理： 定理5：設(shè)有界閉區(qū)域，與關(guān)于直線對稱，函數(shù)在上連續(xù)，那么：（?。┤羰顷P(guān)于直線的奇函數(shù)，則（ⅱ）若是關(guān)于直線的偶函數(shù)，則=2， 三重積分 空間對稱區(qū)域若對則稱空間區(qū)域關(guān)于面對稱，利用相同的方法，可以定義關(guān)于另外兩個(gè)坐標(biāo)面的對稱性。例1：計(jì)算積分 解：令則其中為偶函數(shù)，則。若為偶函數(shù)，則證明（1）當(dāng)為奇函數(shù)時(shí)：令則 所以：2=0 即=0.當(dāng)是偶函數(shù)時(shí)：+。因此，掌握和充分利用對稱性求積分這一方法，對于活躍和開拓我們學(xué)生的創(chuàng)造性思維，提高判斷解題能力，探討解題方法十分有益的。特別是對于有些題目，我們甚至可以不用計(jì)算就可以直接判斷出其結(jié)果。 application目 錄摘 要 IAbstract： II1 緒論 82 相關(guān)的定理及應(yīng)用 8 相關(guān)的定義 8 9 9 9 三重積分 12 空間對稱區(qū)域 12 空間對稱區(qū)域上的奇偶函數(shù) 123 奇偶函數(shù)在空間對稱區(qū)域上的積分 12．曲線積分的對稱性 13．1第一型曲線積分的對稱性定理 13 15 16 16 18小結(jié) 20參考文獻(xiàn) 21 1 緒論 積分
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