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數(shù)學與應用數(shù)學畢業(yè)設計-對稱性在積分中的應用(參考版)

2024-08-17 11:43本頁面
  

【正文】 例1 計算三重積分,其中是有平面與三個坐標面所圍成的四面體解:積分區(qū)域關于面對稱,被積函數(shù)是z的奇函數(shù),所以=0例2 計算三重積分,其中是由曲面及平面 和所圍成的空間閉區(qū)域。若空間區(qū)域關于z軸對稱,則當在上是x,y的奇函數(shù)時,=0;當在上是x,y的偶函數(shù)時,=2,其中是位于過z軸的平面一側的部分。若滿足關系式,則稱是關于x,y,z的奇函數(shù);滿足關系式,則稱是關于x,y,z的偶函數(shù)。若滿足關系式,則稱是關于x,y的奇函數(shù);滿足關系式,則稱是關于x,y的偶函數(shù)。若滿足關系式,則稱是關于z的奇函數(shù);滿足關系式,則稱是關于z的偶函數(shù)。若對則稱關于坐標原點對稱。定理1:設有界閉區(qū)域,,那么(?。┤羰顷P于(或)的奇函數(shù),則=0(ⅱ)若是關于(或)的偶函數(shù),則=2,注釋:設函數(shù)在有界閉區(qū)域上連續(xù)(?。┤絷P于軸對稱,則其中是的右半部分:= (ii)若D關于x軸對稱,則其中是的上半部分:=定理2:設有界閉區(qū)域D關于x軸和y軸均對稱,函數(shù)在D上連續(xù)且關和均為偶函數(shù),則其中是的第一象限的部分:=定理3:則設有界閉區(qū)域D關于原點對稱,函數(shù)在上連續(xù),則其中=,=例1:計算,其中D由下列雙紐線圍成:(1)(2) 解:(1)由于圍成的區(qū)域關于x軸y軸均對稱,而被積函數(shù)關于(或軸)為奇函數(shù)則有 (2)由圍成的區(qū)域對稱于原點,而被積函數(shù)是關于,的偶函數(shù)則有=由極坐標知,代入得且由,知則于是=定理4:設有界閉區(qū)域D關于對稱, 函數(shù)在上連續(xù),則=例2:設函數(shù)在上的正值連續(xù)函數(shù)證明:,其中為常數(shù),證明:∵積分區(qū)域D關于對稱∴=設由函數(shù)關于兩個變量,以上兩式相,得,從而一般地,有以下定理: 定理5:設有界閉區(qū)域,與關于直線對稱,函數(shù)在上連續(xù),那么:(?。┤羰顷P于直線的奇函數(shù),則(ⅱ)若是關于直線的偶函數(shù),則=2, 三重積分 空間對稱區(qū)域若對則稱空間區(qū)域關于面對稱,利用相同的方法,可以定義關于另外兩個坐標面的對稱性。例1:計算積分 解:令則其中為偶函數(shù),則。若為偶函數(shù),則證明(1)當為奇函數(shù)時:令則 所以:2=0 即=0.當是偶函數(shù)時:+。因此,掌握和充分利用對稱性求積分這一方法,對于活躍和開拓我們學生的創(chuàng)造性思維,提高判斷解題能力,探討解題方法十分有益的。特別是對于有些題目,我們甚至可以不用計算就可以直接判斷出其結果。 application目 錄摘 要 IAbstract: II1 緒論 82 相關的定理及應用 8 相關的定義 8 9 9 9 三重積分 12 空間對稱區(qū)域 12 空間對稱區(qū)域上的奇偶函數(shù) 123 奇偶函數(shù)在空間對稱區(qū)域上的積分 12.曲線積分的對稱性 13.1第一型曲線積分的對稱性定理 13 15 16 16 18小結 20參考文獻 21 1 緒論 積分
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