對(duì)稱(chēng)性在簡(jiǎn)化積分運(yùn)算中的應(yīng)用論文最終修定(參考版)
2025-06-09 12:21本頁(yè)面
【正文】 最后，我 向所有評(píng)閱老師表達(dá)我衷心的感謝 ！ 。數(shù)學(xué)分析下冊(cè) [M] 北京：高等教育出版社。數(shù)學(xué)分析上冊(cè) [M] 北京：高等教育出版社。對(duì)于不能直接運(yùn)用對(duì)稱(chēng)性簡(jiǎn)化積分運(yùn)算的，也介紹了幾種 將非對(duì)稱(chēng)性變換為對(duì)稱(chēng)性求解的 方法。在應(yīng) 用對(duì)稱(chēng)性簡(jiǎn)化積分 計(jì)算 時(shí)， 被積表達(dá)式 必須同時(shí)滿(mǎn)足被積函數(shù)與積分區(qū)域兩個(gè)方面的條件。則 00021?????? ?????? DDD x y dx dyx y dx dyx y dx dyI 方法二 平移變換構(gòu)造對(duì)稱(chēng)性 當(dāng)積分區(qū)域關(guān)于某條坐標(biāo)軸平行時(shí)，可以通過(guò)平移坐標(biāo)軸或積分區(qū)域，使得積分區(qū)域變?yōu)閷?duì)稱(chēng)性區(qū)域，可以使得計(jì)算簡(jiǎn)化。 例 計(jì)算 ???D xydxdyI，其中 D是由 y=2x,y=2,x=1 圍城的平面區(qū)域。 （注：上述定理在第二類(lèi)曲線(xiàn)積分、第二類(lèi)曲面積分領(lǐng)域中無(wú)效） 以下是當(dāng)積分區(qū)域不具有對(duì)稱(chēng)性時(shí)，可以用下面方法轉(zhuǎn)化為具有對(duì)稱(chēng)性的區(qū)域。 （ 3） ???? ? ?? dPfdPf )39。( ?????? ?? ?dPfPfPfP 則，有； （ 2） 若 ???? ????? 1 )(2)(),()39。 定理 [15] 設(shè) )(Pf 是定義為 ? 上的連續(xù)函數(shù)，且 ? 具有某種對(duì)稱(chēng)性，記 P 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為 39。 輪換對(duì)稱(chēng)性定理在第二類(lèi)曲面積分中如下： 定理 [13] 設(shè)積分曲面 ? 光滑或分段光滑，函數(shù) ),( zyxP 在曲面 ? 上有定義和可積，若積分曲面∑關(guān)于 zyx , 有輪換對(duì)稱(chēng)性，則 ?????? ??? ?? dx dyyxzPdz dxxzyPdy dzzyxP ),(),(),( 小結(jié)： 通過(guò)上述相關(guān)定理、定義的陳述和證明，我們可以把與積分相關(guān)的對(duì)稱(chēng)性統(tǒng)一成一個(gè)形式。 解 由題意知 S 關(guān)于 zyx , 有輪換對(duì)稱(chēng)性，則 ?? ???? ??S SS dSzdSydSx222 ?????? ????? SSS dSyxzdSxzydSzyx )2()2()2( 224224224 則 ?1089)(31)(2)]2()2()2[(31)(2)26(22222222242242242222224???????????????????????????????SSSSSsdSdSzyxdSzyxdSyxzxzyzyxdSzyxdSzyxx 對(duì)稱(chēng)性在第二類(lèi)曲面積分運(yùn)算中的應(yīng)用 第二類(lèi)曲面積分類(lèi)似于第二類(lèi)曲線(xiàn)積分，根據(jù)其定義及物理背景，推導(dǎo)出對(duì)稱(chēng)性在第二類(lèi)曲面積分中的結(jié)論。 定理 [13] 設(shè)分塊光滑曲面 ? 關(guān)于坐標(biāo)面 0?x 對(duì)稱(chēng)，且 ),( zyxf 在 ? 上有定義、可積，則 (1)若 ),( zyxf 是關(guān)于 x 的奇函數(shù)，則 0),( ???? dSzyxf， (2)若 ),( zyxf 是關(guān)于 x 的偶函數(shù)， 則 ???????? ???? 11 ),(21)),(,(2),(22 dSzyxfdx dyzzyxzyxfdSzyxfD yx 其中 }0),{(1 ????? xzyx 同理得出曲面 ? 關(guān)于坐標(biāo)面 )0(0 ?? yx 或 對(duì)稱(chēng)的相應(yīng)結(jié)論。若曲線(xiàn) L 關(guān)于 yx, 具有輪換對(duì)稱(chēng)性，則 ?? ?LL dyxyPdxyxP ),(),( 例 求解第二類(lèi)曲線(xiàn)積分 ???L yx dydx 122， :L 1??yx ，沿逆時(shí)針?lè)较颉? 例 求解第二類(lèi)曲線(xiàn)積分 ? ?L dyxdxy22， L是橢圓 12222 ??byax 沿順時(shí)針?lè)较颉? L1是 L 的右半或上半平面部分。))((),(())(39。))(,(),(),(),(xxxxxxLLLdxxfxfxQxfxQdxxfxfxQdxxfxfxQdyyxQdyyxQdyyxQ? 若 Q(x,y)為 y的奇函數(shù)，則 0),( ??L dyyxQ 若 Q(x,y)為 y的偶函數(shù)，則 ??? ??121),(2)())(,(2),(LxxLdyyxQdxxfxfxQdyyxQ L1為 L 在 x軸上方部分。))](,())(,([))(39。 證明 （ 1）若 L 關(guān)于 y 軸對(duì)稱(chēng)，設(shè) 軸上方和下方的部分在分別是和 xLLL 21 ，且令],[),(:),(: 121 xxxxxfyLxfyL ???? ,則 ① ??????????????21122121))](,())(,([))(,())(,(),(),(),(xxxxxxLLLdxxfxPxfxPdxxfxPdxxfxPdxyxPdxyxPdxyxP? 若 ),( yxP 為 y 的偶函數(shù)，則 0),( ??L dxyxP 若 ),( yxP 為 y 的奇函數(shù)，則 ??? ??121),(2))(,(2),(LxxLdxyxPxfxPdxyxP L1為 L 在 x軸上方部分。 皖西學(xué)院 2021屆本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 7 （ 3）當(dāng) L 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)時(shí)： ?若 ),( yxP ， ),( yxQ 關(guān)于 ),( yx 為偶函數(shù)，則 0),(),( ??? dyyxQdxyxPL ?若 ),( yxP ， ),( yxQ 關(guān)于 ),( yx 為奇函數(shù)，則dyyxQdxyxPdyyxQdxyxP LL ),(),(2),(),(1??? ?? ， 1L 是 L 的上半或右半平面部分。 曲線(xiàn)的輪換對(duì)稱(chēng)性定 理如下 : 定理 設(shè)平面分段光滑曲線(xiàn) L 關(guān)于 yx, 存在輪換對(duì)稱(chēng)性， ),( yxf 在 L 上有定義且可積，則 dsyxfdsyxfLL ?? ? ),(),( 對(duì)稱(chēng)性在第二類(lèi)曲線(xiàn)積分計(jì)算中的應(yīng) 用 由第二類(lèi)曲線(xiàn)積分的物理背景為變力做功可知，它與曲線(xiàn)的方向相關(guān)，與上述積分對(duì)稱(chēng)性的幾種結(jié)論不同，與第二類(lèi)曲線(xiàn)積分相關(guān)結(jié)論如下。 例 計(jì)算三重積分 ???? xyzdV， 4222 ????
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