【正文】 ， 0),( ???D dxdyyxf；當函數 ),( yxf 是關于 y的偶函數，即 ),(),( yxfyxf ?? 時， ???? ?1),(2),( DD dx dyyxfdx dyyxf 定理 [5] 若 D關于 y 軸對稱， D2位于 y 軸右半部份， 當函數 f(x,y)是關于 x的奇函數，即 ),(),( yxfyxf ?? 時： 0),( ???D dxdyyxf； 當函數 f(x,y)是關于 x的偶函數，即 ),(),( yxfyxf ?? 時：???? ?2),(2),( DD dx dyyxfdx dyyxf 。 其中 1? 是 ? 的前半部分， }0),({1 ????? xzyx 同理可寫出 ? 關于坐標平面 )0(0 ?? zy 或 對稱時的情形 相似于二重積分，得出結論 定理 設函數 ),( zyxf 為定義在空間有界區(qū)域 ? 的連續(xù)函數，且 ? 關于原點對稱，則 （ 1） 若 ),(),( zyxfzyxf ????? ， ??),( zyx ，則 0),( ????? dVzyxf （ 2） 若 ),(),.( zyxfyzxf ???? ， ??),( zyx ，則 皖西學院 2021屆本科畢業(yè)設計（論文） 5 ???????????????? ??? 321 ),(2),(2),(2),( dVzyxfdVzyxfdVzyxfdVzyxf }0),({1 ????? xzyx ， }0),({2 ???? yzyx ， }0),({3 ???? zzyx 類似于二重積分，為方便敘述，三重積分輪換對稱性的定理與定義如下： 定理 [7] 設函數 f（ x,y,z)是定義在空間有界區(qū)域Ω上的連續(xù) 函數，且Ω關于變量 x,y,z 具有輪換對稱性，則 ???????????? ?? dVyxzfdVxzyfdVzyxf ),(),(),( 定義 [7] 設 ? 是一個有界可度量的集合體（ ? 可為空間區(qū)域、空間曲線或曲面塊），且它的邊界光滑，若 ????????? ),(),(,), yxzxzyzyx ，（ ，則稱 ? 關于變量 zyx , 具有輪換對稱性。 定理 [12] 設 L 為平面上分段光滑的定向曲線， ),(),( yxQyxP 為定義在 L 上的連續(xù)函數； （ 1） 當 L 關于 x 軸對稱時： ①若 ),( yxP 是關于 y 的偶函數，則 0),( ??L dxyxP； 若 ),( yxP 是關于 y 的奇函數，則 ?? ?1),(2),( LL dxyxPdxyxP ②若 ),( yxQ 是關于 y 的偶函數，則 0),( ??L dxyxQ； 若 ),( yxQ 是關于 y 的奇函數，則 ?? ?1),(2),( LL dxyxQdxyxQ 軸上半部分在為 xLL1 （ 2） 當 L 關于 y 軸對稱時： ①若 ),( yxP 是關于 x 的偶函數，則 0),( ??L dxyxP； 若 ),( yxP 是關于 x 的奇函數，則 ?? ?1),(2),( LL dxyxPdxyxP ②若 ),( yxQ 是關于 x 的偶函數，則 0),( ??L dxyxQ； 若 ),( yxQ 是關于 x 的奇函數，則 ?? ?1),(2),( LL dxyxQdxyxQ 軸右半部份在為 yLL1 。 ② ???????????????21122121)(39。 對稱性在積分運算中的應用 8 （ 3） 若 L 關于原點對稱時，令 21 LLL ?? , 21 LL、 分別為 L 關于原點對稱的兩部分之一，則 ??? ?????21 LLLQ dyP dxQ dyP dxQ dyP dx ， 令 1L 的 參 數 方 程 為 )(),( tyytxx ?? ， ),( bat? ，則 2L 的 參 數 方 程 為)(),( tyytxx ?? ， ),( bat? ； 則 ? ? ?????????2))](39。 綜上所述，定理得證。 解 ????????? LLL yx dyyx dxyx dydx 111 222222，已知 L 關于 x 軸對稱 ,21yx關于 y 為偶函數 由上述定理易知 0122 ???L yx dx， 皖西學院 2021屆本科畢業(yè)設計（論文） 9 有題意知 L 關于 yx, 存在輪換對稱性，由上述定理已知 011 2222 ???? ?? LL yx dyyx dx，則 0122 ????L yx dydx 對稱性在第一類曲面積分中的應用 在第一類曲面積分中，與上述類似，可以利用積分區(qū)域的對稱性（關于坐標面對稱、原點對稱、輪換對稱）以 及被積函數奇偶性，簡化計算第一類曲面積分，相關定理如下。 定理 [14] 設積分曲面 ? 光滑或分段光滑，且 21 ????? ，曲面 1? 和 2? 的法線方向相反，若曲面 1? 、 2? 關于 xoy 平面對稱，則 （ 1） 若 ),(),( zyxRzyxR ?? ，則 0),( ???? dxdyzyxR； （ 2） 若 ),(),( zyxRzyxR ?? ,則 ?????? ? dx dyzyxRdx dyzyxR ),(2),(， 1? 為 ? 的0?z 的部分。P ，則 （ 1） 若 0)(),()39。()(。 解： 為使用對稱性簡化計算，對整個區(qū)域 D 重新劃分為 1D 和 2D , 1D 是 xy 2?? 上方的部分， 2D 是直線 xy 2?? 下方的部分，易知 1D 關于 x 軸對稱， 2D 關于 y 軸對稱， yx,關于 x 和 y 為奇函數。本文總結了幾類積分領域的的對稱性定理，以及在這幾個方面的應用形式。 1991 [2] 程希旺 對稱心在曲面積分和曲線積分計算中的 應用 [J] 2021(10） [3]華東師范大學數