對稱性在簡化積分運算中的應用論文最終修定-文庫吧
2025-05-16 12:21 本頁面
【正文】 2 相關定理及其應用 定理 【 1】 設 )(xf 在區(qū)間 a][a, 可積： （ 1） 若 )(xf 為奇函數(shù)，則 0)( ???dxxfaa； （ 2） 若 )(xf 為偶函數(shù)，則 ???? aaadxxfdxxf0)(2)( 例 ：計算積分 ??? ????????????????? xdxxdxd c os1)c os (1c os120其中 xxf cos2 1)( ?? 為偶函數(shù)，則 ?????????????? ????????? 020 c os12c os1)c os (1c os1 xdxxdxxdxd 令 tx?2tan ，則323a rc t a n3143141211412122c os22 0020220220?? ??????????????????????? ????ttdtdttttdttttxdx 在定積分的計算中，當積分區(qū)間為任意有限區(qū)間 b][a, 時，該積分區(qū)間一定關于直線 )(21 bax ?? 對稱，由此我們可得以下出定理。 定理 [4] 設 f(x)在 [a,b]上連續(xù)，則 ?? ??? babadxxbafdxxf )()( 例 計算定積分 dxxx x? ??? ?42 )3ln()9ln()9ln( 解： 令)3ln()9ln( )9ln()( xx xxf ??? ??，則)9ln()3ln( )3ln()6( xx xxf ??? ???由定理 知 121)]6()([21)(424242????? ??? dxdxxfxfdxxf 以上是對稱性在定積分計算中的應用 ，可以得出對稱性可以大大的簡化定積分的運算。 皖西學院 2021屆本科畢業(yè)設計（論文） 3 分計算中的應用 對稱性在二重積分中的應用 相關定理及應用 定理 [3][5] 若 D關于 x 軸對稱， D1位于 x 軸上半部分，當函數(shù) ),( yxf 是關于 y的奇函數(shù)，即 ),(),( yxfyxf ??? 時， 0),( ???D dxdyyxf；當函數(shù) ),( yxf 是關于 y的偶函數(shù)，即 ),(),( yxfyxf ?? 時， ???? ?1),(2),( DD dx dyyxfdx dyyxf 定理 [5] 若 D關于 y 軸對稱， D2位于 y 軸右半部份， 當函數(shù) f(x,y)是關于 x的奇函數(shù)，即 ),(),( yxfyxf ?? 時： 0),( ???D dxdyyxf； 當函數(shù) f(x,y)是關于 x的偶函數(shù)，即 ),(),( yxfyxf ?? 時：???? ?2),(2),( DD dx dyyxfdx dyyxf 。 定理 [6] 若區(qū)域 D為關于原點對稱，其中 D3為 D中關于原點對稱的右側(cè)。 當 ),( yxf 為奇函數(shù)即 ),(),( yxfyxf ???? 時，有 0),( ???D dxdyyxf 當 ),( yxf 為偶函數(shù)即 ),(),( yxfyxf ??? 時，有 ???? ?3),(2),( DD dx dyyxfdx dyyxf 推論 1 設 D 是有界平面區(qū)域，函數(shù) ),( yxf 在平面內(nèi)連續(xù)，且 D 關于 x軸、 y 軸對稱，則 （ 1） 若函數(shù) ),( yxf 關于變量 x、 y都是偶函數(shù)，則???? ?1),(4),( DD dyxfdyxf ?? ， }0,0),{(1 ???? yxDyxD （ 2）若函數(shù) ),( yxf 關于其中一個變量 x或者變量 y 為奇函數(shù)，則 0),( ???D dyxf ? 為方便敘述，以下為輪換對稱性的定理和定義： 定理 [7] 設函數(shù) ),( yxf 在 xoy 平面上的有界區(qū)域 D上連續(xù)，且 D關于 x,y 存在輪換對稱性，則 ???? ?DD dxyfdyxf ?? ）,(),( 對稱性在積分運算中的應用 4 定義 [7] 設 D 為一有界可度量平面區(qū)域（或光滑平面曲線段），若DxyDyx ???? ),(,),( ，則稱區(qū)域 D（或光滑平面曲線段 ）關于 x,y具有輪換對稱性。 例 設區(qū)域 D由 x=0,y=0,x+y=1 圍城，求 ????? D dyfxf ybfxafI ?)()( )()( 解 由題意得，變量 x,y互換，積分區(qū)域區(qū)域 D不變 則 ?????????? DD yfxf ybfxafdyfxf xbfyafI )()( )()()()( )()( ? 所以 )(4121)(21)(21)(21)(21)()()()()()(21bababadbadbadyfxfxbfyafybfxafIDDD?????????????????????????? 對稱性在三重積分計算中的應用 三重積分應用對稱性定理如下： 定理 [8] 設函數(shù) ),( zyxf 是定義在空間有界閉區(qū)間區(qū)域Ω上的連續(xù)函數(shù)，且Ω關于坐標平面 0?x 對稱，則 （ 1） 若 ),( zyxf 是關于變量 x 的奇函數(shù)，則 0),( ????? dVzyxf； （ 2） 若 ),( zyxf 是關于變量 x 的偶函數(shù)，則 ???????? ? 1 ),(2),( dVzyxfdVzyxf。 其中 1? 是 ? 的前半部分， }0),({1 ????? xzyx 同理可寫出 ? 關于坐標平面 )0(0 ?? zy 或 對稱時的情形 相似于二重積分，得出結(jié)論 定理 設函數(shù) ),( zyxf 為定義在空間有界區(qū)域 ? 的連續(xù)函數(shù)，且 ? 關
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