【正文】 ???????????? ????ttdtdttttdttttxdx 在定積分的計算中，當積分區(qū)間為任意有限區(qū)間 b][a, 時，該積分區(qū)間一定關于直線 )(21 bax ?? 對稱，由此我們可得以下出定理。))((,()(39。 皖西學院 2021屆本科畢業(yè)設計（論文） 11 現(xiàn)將被積函數(shù)用 )(Pf 表示，積分區(qū)域記為 ? ，在 ? 區(qū)域上 )(Pf 在的積分記為?? ?dPf ）( ，相關定理如下。 參考文獻 : [1] 華東師范大學數(shù)學系編。 對稱性在積分運算中的應用 12 例 求解 ?? ???D dxdyyxI )2(22，其中 D： yyx 222 ?? 解：已知積分區(qū)域不存在對稱性，平移變換 1??yY ， D 的方程變?yōu)?122 ??Yx ，則 ???? ????? DD Y dx dYdx dYYxI 2]2)1([ 22 ， D 關于 x 軸對稱， Y2 是關于 Y 的奇函數(shù)，由定理 得， 0)2(22 ???? ??D dx dyyxI 結束語 求解積分過程中，可以通過使 用輪換對稱性、被積函數(shù)的奇偶性、積分區(qū)域的對稱性來簡化問題。 例 求解第一類曲面積分 ??? ?? dSzyx )(， ? 是 球面 2222 azyx ??? 上)0( ahhz ＜＜? 部分 解 ???????????? ????? z dSy dSx dSdSzyx )( 因為曲面 ? 關于坐標面 0?x 對稱，且 x 是關于 x 的奇函數(shù)，由上定理知 0???? xdS 因為曲面 ? 關于坐標面 0?y 對稱，且 y 是關于 y 的奇函數(shù)，由上定理知 0???? ydS 又因為 )(1 222222222 haadx dyyxa xyxaz dS D ???????? ????? ?， 則 )()(00)(2222 haahaadSzyx ??????????? ?? 第一類曲面積分輪換對稱性的定理如下 對稱性在積分運算中的應用 10 定理 [12] 設分片光滑曲面 ? 關于 zyx , 存在輪換對稱性，并且 ),( zyxf 在 ? 上有定義且可積，即 ????????? ?? dSyxzfdSxzyfdSzyxf ),(),(),( 例 求第一類曲面積分 ?? ??S dSzyxx )26(2224， S 為 3222 ??? zyx 。 （ 1） （ 3）證明如下，（ 2）證明方法類似于（ 1），此處不做重復。 在 很多 復雜的微積分證明和計算過程中， 尤其是涉及多元微積分問題 ,常規(guī)的方法 很難解決 ，恰當?shù)睦梅e分區(qū)域的對稱性和被積函數(shù)的奇偶性，可以大大簡化積分計算。 definite integral。 曲線的輪換對稱性定 理如下 : 定理 設平面分段光滑曲線 L 關于 yx, 存在輪換對稱性， ),( yxf 在 L 上有定義且可積，則 dsyxfdsyxfLL ?? ? ),(),( 對稱性在第二類曲線積分計算中的應 用 由第二類曲線積分的物理背景為變力做功可知，它與曲線的方向相關，與上述積分對稱性的幾種結論不同，與第二類曲線積分相關結論如下。若曲線 L 關于 yx, 具有輪換對稱性，則 ?? ?LL dyxyPdxyxP ),(),( 例 求解第二類曲線積分 ???L yx dydx 122， :L 1??yx ，沿逆時針方向。 例 計算 ???D xydxdyI，其中 D是由 y=2x,y=2,x=1 圍城的平面區(qū)域。數(shù)學分析下冊 [M] 北京：高等教育出版社。( ?????? ?? ?dPfPfPfP 則，有； （ 2） 若 ???? ????? 1 )(2)(),()39。))((),(())(39。 定理 [6] 若區(qū)域 D為關于原點對稱，其中 D3為 D中關于原點對稱的右側。 畢業(yè)設計（論文） 題 目： 對稱性在簡化積分運算中的應用 學生 姓名 ： 周 祥 學 號： 2021012482 所在 學 院 ： 金融與數(shù)學學院 專業(yè) 班 級 ： 應數(shù) 1001 班 屆 別： 2021 屆 指 導 教 師 ： 邵 毅 皖西學院本科畢業(yè)設計（論文）創(chuàng)作誠信承諾書 ：所提交的畢業(yè)設計（論文），題目《 對稱性在簡化積分運算中的應用 》是本人在指導教師指導下 獨立完成的 ， 沒有弄虛作假，沒有抄襲、剽竊別人的內(nèi)容； 計（論文）所使用的相關資料、數(shù)據(jù)、觀點等均真實可靠，文中所有引用的他人觀點、材料、數(shù)據(jù)、圖表均已標注說明來源； 3. 畢業(yè)設計（論文）中無抄襲、剽竊或不正當引用他人學術觀點、思想和學術成果，偽造、篡改數(shù)據(jù)的情況； ：學校對畢業(yè)設計（論文）中的抄襲、剽竊、弄虛作假等違反學術規(guī)范的行為將嚴肅處理，并可能導致畢業(yè)設計（論文）成績不合格，無法正常畢業(yè)、取消學士學位資格或注銷并追回已發(fā)放的畢業(yè)證書、學士學位證書等嚴重后果； 、學校組織的畢業(yè)設計（論文）檢查、評比中，被發(fā)現(xiàn)有 抄襲、剽竊、弄虛作假等違反學術規(guī)范的行為，本人愿意接受學校按有關規(guī)定給予的處理，并承擔相應責任。 皖西學院 2021屆本科畢業(yè)設計（論文） 3 分計算中的應用 對稱性在二重積分中的應用 相關定理及應用 定理 [3][5] 若 D關于 x 軸對稱， D1位于 x 軸上半部分，當函數(shù) ),( yxf 是關于 y的奇函數(shù)，即 ),(),( yxfyxf ??? 時， 0),( ???D dxdyyxf；當函數(shù) ),( yxf 是關于 y的偶函數(shù)，即 ),(),( yxfyxf ?? 時， ???? ?1),(2),( DD dx dyyxfdx dyyxf 定理 [5] 若 D關于 y 軸對稱， D2位于 y 軸右半部份， 當函數(shù) f(x,y)是關于 x的奇函數(shù)，即 ),(),( yx