對稱性在簡化積分運算中的應(yīng)用論文最終修定-資料下載頁
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【正文】 dSdSzyxdSzyxdSyxzxzyzyxdSzyxdSzyxx 對稱性在第二類曲面積分運算中的應(yīng)用 第二類曲面積分類似于第二類曲線積分，根據(jù)其定義及物理背景，推導(dǎo)出對稱性在第二類曲面積分中的結(jié)論。 定理 [14] 設(shè)積分曲面 ? 光滑或分段光滑，且 21 ????? ，曲面 1? 和 2? 的法線方向相反，若曲面 1? 、 2? 關(guān)于 xoy 平面對稱，則 （ 1） 若 ),(),( zyxRzyxR ?? ，則 0),( ???? dxdyzyxR； （ 2） 若 ),(),( zyxRzyxR ?? ,則 ?????? ? dx dyzyxRdx dyzyxR ),(2),(， 1? 為 ? 的0?z 的部分。 輪換對稱性定理在第二類曲面積分中如下： 定理 [13] 設(shè)積分曲面 ? 光滑或分段光滑，函數(shù) ),( zyxP 在曲面 ? 上有定義和可積，若積分曲面∑關(guān)于 zyx , 有輪換對稱性，則 ?????? ??? ?? dx dyyxzPdz dxxzyPdy dzzyxP ),(),(),( 小結(jié)： 通過上述相關(guān)定理、定義的陳述和證明，我們可以把與積分相關(guān)的對稱性統(tǒng)一成一個形式。 皖西學(xué)院 2021屆本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 11 現(xiàn)將被積函數(shù)用 )(Pf 表示，積分區(qū)域記為 ? ，在 ? 區(qū)域上 )(Pf 在的積分記為?? ?dPf ）( ，相關(guān)定理如下。 定理 [15] 設(shè) )(Pf 是定義為 ? 上的連續(xù)函數(shù)，且 ? 具有某種對稱性，記 P 的對稱點為 39。P ，則 （ 1） 若 0)(),()39。( ?????? ?? ?dPfPfPfP 則，有； （ 2） 若 ???? ????? 1 )(2)(),()39。( ?? dPfdPfPfPfP 則，有； 1? 為 ? 的一半。 （ 3） ???? ? ?? dPfdPf )39。()(。 （注：上述定理在第二類曲線積分、第二類曲面積分領(lǐng)域中無效） 以下是當(dāng)積分區(qū)域不具有對稱性時，可以用下面方法轉(zhuǎn)化為具有對稱性的區(qū)域。 方法一 重新劃分區(qū)域，構(gòu)造對稱性 當(dāng)積分區(qū)域不對稱時，可以將積分局域重新進行分割劃分，使得每個小區(qū)域都具有對稱性，從而在劃分的每個小區(qū)域使用上述的方法進行運算求和。 例 計算 ???D xydxdyI，其中 D是由 y=2x,y=2,x=1 圍城的平面區(qū)域。 解： 為使用對稱性簡化計算，對整個區(qū)域 D 重新劃分為 1D 和 2D , 1D 是 xy 2?? 上方的部分， 2D 是直線 xy 2?? 下方的部分，易知 1D 關(guān)于 x 軸對稱， 2D 關(guān)于 y 軸對稱， yx,關(guān)于 x 和 y 為奇函數(shù)。則 00021?????? ?????? DDD x y dx dyx y dx dyx y dx dyI 方法二 平移變換構(gòu)造對稱性 當(dāng)積分區(qū)域關(guān)于某條坐標(biāo)軸平行時，可以通過平移坐標(biāo)軸或積分區(qū)域，使得積分區(qū)域變?yōu)閷ΨQ性區(qū)域，可以使得計算簡化。 對稱性在積分運算中的應(yīng)用 12 例 求解 ?? ???D dxdyyxI )2(22，其中 D： yyx 222 ?? 解：已知積分區(qū)域不存在對稱性，平移變換 1??yY ， D 的方程變?yōu)?122 ??Yx ，則 ???? ????? DD Y dx dYdx dYYxI 2]2)1([ 22 ， D 關(guān)于 x 軸對稱， Y2 是關(guān)于 Y 的奇函數(shù)，由定理 得， 0)2(22 ???? ??D dx dyyxI 結(jié)束語 求解積分過程中，可以通過使 用輪換對稱性、被積函數(shù)的奇偶性、積分區(qū)域的對稱性來簡化問題。在應(yīng) 用對稱性簡化積分 計算 時， 被積表達式 必須同時滿足被積函數(shù)與積分區(qū)域兩個方面的條件。本文總結(jié)了幾類積分領(lǐng)域的的對稱性定理，以及在這幾個方面的應(yīng)用形式。對于不能直接運用對稱性簡化積分運算的，也介紹了幾種 將非對稱性變換為對稱性求解的 方法。 參考文獻 : [1] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編。數(shù)學(xué)分析上冊 [M] 北京：高等教育出版社。 1991 [2] 程希旺 對稱心在曲面積分和曲線積分計算中的 應(yīng)用 [J] 2021(10） [3]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編。數(shù)學(xué)分析下冊 [M] 北京：高等教育出版社。 1991 [4]華東六省工科數(shù)學(xué)系列編委會 高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)指導(dǎo)書 [M] 沈陽科學(xué)技術(shù)出版社 1991 [5]孫欽福 二重積分的對稱性定理及應(yīng)用 曲阜師范大學(xué)學(xué)報 [J] 2021:29:910 [6]孫仁華 二重積分計算中的若干技巧 [J] 湖南冶煉職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報 2021:8（ 2）： 102104 [7]陳云新 輪換對稱性在積分中的應(yīng)用 [J] 高等數(shù)學(xué)研究 2021（ 4）： 2931 [8]王憲杰 對稱區(qū)域上 二重積分和三重積分的計算 [J] 牡丹江師范學(xué)院學(xué)報 2021（ 4）： 6566 [9]梁應(yīng)仙等 對稱性在三重積分計算中的應(yīng)用 [J] 沈陽大學(xué)學(xué)報 （ 4） 100101 [10]劉渭川 利用對稱性計算曲線積分與曲面積分 [J] 河南科學(xué) （ 6）： 810812 [11]王慧等 對稱性在兩類積分曲線積分中的應(yīng)用 [J] 淮北師范大學(xué)學(xué)報 2021.（ 32）： 4 [12劉富貴等 利用對稱性計算第二類曲線積分與曲面積分的方法 [J] 武漢理工大學(xué)學(xué)報 （ 6） [13]張霞 關(guān)于曲 面積分對稱性的研究 [J] 安慶師范學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版） （ 2） 8386 [14]嚴(yán)水傳 關(guān)于對稱性在積分計算中的應(yīng)用補遺 [J] 高等數(shù)學(xué)研究 2021（ 5）： 2831 [15]李久平 廣義對稱性在積分計算中的應(yīng)用 工科數(shù)學(xué) （ 3）： 9799 致謝 我的該篇畢業(yè)論文是在邵毅書記的細心指導(dǎo)下完成的，邵書記和藹的態(tài)度和博學(xué)的知識給了我很大的鼓舞和幫助，他認(rèn)證嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度和愛崗敬業(yè) 的 精神 對我產(chǎn)生了深遠 的影響，在此我向他表示衷心的謝意 ！ 感謝所有的老師，沒有你們授予的知識的積累，我完 成這篇論文的過程就不會有那么大的信心和動力。 最后，我 向所有評閱老師表達我衷心的感謝 ！
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