對稱性在簡化積分運算中的應(yīng)用論文最終修定-wenkub.com
2025-06-01 12:21 本頁面
【正文】 1991 [4]華東六省工科數(shù)學(xué)系列編委會 高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)指導(dǎo)書 [M] 沈陽科學(xué)技術(shù)出版社 1991 [5]孫欽福 二重積分的對稱性定理及應(yīng)用 曲阜師范大學(xué)學(xué)報 [J] 2021:29:910 [6]孫仁華 二重積分計算中的若干技巧 [J] 湖南冶煉職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報 2021:8（ 2）： 102104 [7]陳云新 輪換對稱性在積分中的應(yīng)用 [J] 高等數(shù)學(xué)研究 2021（ 4）： 2931 [8]王憲杰 對稱區(qū)域上 二重積分和三重積分的計算 [J] 牡丹江師范學(xué)院學(xué)報 2021（ 4）： 6566 [9]梁應(yīng)仙等 對稱性在三重積分計算中的應(yīng)用 [J] 沈陽大學(xué)學(xué)報 （ 4） 100101 [10]劉渭川 利用對稱性計算曲線積分與曲面積分 [J] 河南科學(xué) （ 6）： 810812 [11]王慧等 對稱性在兩類積分曲線積分中的應(yīng)用 [J] 淮北師范大學(xué)學(xué)報 2021.（ 32）： 4 [12劉富貴等 利用對稱性計算第二類曲線積分與曲面積分的方法 [J] 武漢理工大學(xué)學(xué)報 （ 6） [13]張霞 關(guān)于曲 面積分對稱性的研究 [J] 安慶師范學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版） （ 2） 8386 [14]嚴(yán)水傳 關(guān)于對稱性在積分計算中的應(yīng)用補遺 [J] 高等數(shù)學(xué)研究 2021（ 5）： 2831 [15]李久平 廣義對稱性在積分計算中的應(yīng)用 工科數(shù)學(xué) （ 3）： 9799 致謝 我的該篇畢業(yè)論文是在邵毅書記的細心指導(dǎo)下完成的，邵書記和藹的態(tài)度和博學(xué)的知識給了我很大的鼓舞和幫助，他認證嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度和愛崗敬業(yè) 的 精神 對我產(chǎn)生了深遠 的影響，在此我向他表示衷心的謝意 ！ 感謝所有的老師，沒有你們授予的知識的積累，我完 成這篇論文的過程就不會有那么大的信心和動力。 參考文獻 : [1] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編。 對稱性在積分運算中的應(yīng)用 12 例 求解 ?? ???D dxdyyxI )2(22，其中 D： yyx 222 ?? 解：已知積分區(qū)域不存在對稱性，平移變換 1??yY ， D 的方程變?yōu)?122 ??Yx ，則 ???? ????? DD Y dx dYdx dYYxI 2]2)1([ 22 ， D 關(guān)于 x 軸對稱， Y2 是關(guān)于 Y 的奇函數(shù)，由定理 得， 0)2(22 ???? ??D dx dyyxI 結(jié)束語 求解積分過程中，可以通過使 用輪換對稱性、被積函數(shù)的奇偶性、積分區(qū)域的對稱性來簡化問題。 方法一 重新劃分區(qū)域，構(gòu)造對稱性 當(dāng)積分區(qū)域不對稱時，可以將積分局域重新進行分割劃分，使得每個小區(qū)域都具有對稱性，從而在劃分的每個小區(qū)域使用上述的方法進行運算求和。( ?? dPfdPfPfPfP 則，有； 1? 為 ? 的一半。 皖西學(xué)院 2021屆本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 11 現(xiàn)將被積函數(shù)用 )(Pf 表示，積分區(qū)域記為 ? ，在 ? 區(qū)域上 )(Pf 在的積分記為?? ?dPf ）( ，相關(guān)定理如下。 例 求解第一類曲面積分 ??? ?? dSzyx )(， ? 是 球面 2222 azyx ??? 上)0( ahhz ＜＜? 部分 解 ???????????? ????? z dSy dSx dSdSzyx )( 因為曲面 ? 關(guān)于坐標(biāo)面 0?x 對稱，且 x 是關(guān)于 x 的奇函數(shù)，由上定理知 0???? xdS 因為曲面 ? 關(guān)于坐標(biāo)面 0?y 對稱，且 y 是關(guān)于 y 的奇函數(shù)，由上定理知 0???? ydS 又因為 )(1 222222222 haadx dyyxa xyxaz dS D ???????? ????? ?， 則 )()(00)(2222 haahaadSzyx ??????????? ?? 第一類曲面積分輪換對稱性的定理如下 對稱性在積分運算中的應(yīng)用 10 定理 [12] 設(shè)分片光滑曲面 ? 關(guān)于 zyx , 存在輪換對稱性，并且 ),( zyxf 在 ? 上有定義且可積，即 ????????? ?? dSyxzfdSxzyfdSzyxf ),(),(),( 例 求第一類曲面積分 ?? ??S dSzyxx )26(2224， S 為 3222 ??? zyx 。 解 因為 L 于原點對稱，已知 2),( yyxP ? ， 2),( xyxQ ? 都是 ),( yx 的偶函數(shù)， 由上述定理知 022 ???L dyxdxy 相應(yīng) 輪換對稱性定理如下 定理 [12] 設(shè) L 是平面上分段光滑的定向曲線， ),(),( yxQyxP 是定義在 L 上的連續(xù)函數(shù)。))((),(([LbadttytytxQtxtytxPQ dyP dx ①如果 P(x,y),Q(x,y)關(guān)于（ x,y)是偶函數(shù)，則 ?? ????12 LLQ dyP dxQ dyP dx ， 得到 0][ ???L QdyPdx； ②如果 P(x,y),Q(x,y)關(guān)于（ x,y)是奇函數(shù)，則 ?? ???12 LLQ dyP dxQ dyP dx ， 得到 ?? ???12 LL Q dyP dxQ dyP dx 。))((,()(39。 （ 1） （ 3）證明如下，（ 2）證明方法類似于（ 1），此處不做重復(fù)。 又因為 30 22202222241)(11 RdxxR RxdxxR xxdsxRRL???????? ??? 故32214 Rdsxdsx LL ??? ?? 對稱性在積分運算中的應(yīng)用 6 當(dāng)曲線 L 關(guān)于原點對稱時，相關(guān)定理如下： 定理 [11] 設(shè)平面分段光滑曲線 L 關(guān)于原點對稱，且 ),( yxf 在 L 上有定義、可積，則 （ 1） 若 0),(,),(),(, ?????? ?L dsyxfLyxyxfyxf 則）（ 1L 是 L 的上半平面或右半平面部分。 當(dāng) ),( yxf 為奇函數(shù)即 ),(),( yxfyxf ???? 時，有 0),( ???D dxdyyxf
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