淺談對稱性在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用＿畢業(yè)論文(參考版)
2025-07-11 21:09本頁面
【正文】 ),(,),(2),(1的奇函數(shù)為關(guān)于若的偶函數(shù)為關(guān)于若zzyxfzzyxfdszyxfdszyxf (其中 1? 為 ? 在 xoy 平面上側(cè)的部分 ). 例 20 求 dszxy )(2??? ?, 其中 ? 為半球面 228 yxz ??? 位于閉區(qū)域4: 22 ?? yxD 內(nèi)的部分 . 解 ? 關(guān)于坐標(biāo)面 0?x 和 0?y 對稱 , 而 xy 是關(guān)于變量 x , 也是關(guān)于變量 y 的奇函數(shù) , 所 以 0???? dsxy . 從而 ,原式 = dsz???2 = d x d yyxyxD 2222 8 22)8( ??????? ).24(332822 20 220???? ????? drrrd （ 2）設(shè)分片光滑的閉曲面 ? 關(guān)于 xoy 平面對稱 , 法方向取外側(cè) , 而 ),( zyxf是 ? 上的連續(xù)函 數(shù) , 則 ?????? ???? ?? .),(0。),(),(,0),(時當(dāng)時當(dāng) 聊城大學(xué)本科畢業(yè)論文 13 其中 }0,),{(1 ??? xLyxL . （ 2）若 L 關(guān)于 x 軸對稱 , 則 ? ?????? ??????LL yxfyxfdsyxfyxfyxfdsyxf2.),(),(,),(2。),(),(,0),(2時當(dāng)時當(dāng)zyxfzyxfd x d y d zzyxfzyxfzyxfd x d y d zzyxf 其中 }0,),{(2 ??? yQzyxQ . （ 3）若 Q 關(guān)于 xoy 坐標(biāo)面對稱 , 對于任意 Qzyx ?),( , 則 ????? ?????? ?????? .),(),(,),(2 。()2(,0)(xfxafdxxfxfxafdxxfcaacaca 例 7 求積分 ?? ??? 22 22 2)( dxxxxI. 解 212 2 222 2 2 22 IIdxxxdxxxI ?????? ?? ??. 因為 022 1222 ??? Ixxxx 為偶函數(shù)，所以為奇函數(shù)， . 從而 , ? ???? 20 222 22 dxxxII . 令 tx sin2? , 則 ? ????? 20 22 2)s in1(s in8 ? ?dtttI . 例 8 計算 ?? ?? 211 dxxx . 解 ? ? ?? ? ? ?????? 222 11111 dxxxdxxdxxx ? ??? 2 01 12 dxx 3][arc s in2 ??? x . 例 9 求 ? ??0 2cos1 sin dxxxx. 解 令 ux ??2? , 則 原式 ? ? ?? ? ? ???????222222 222 s i n1c os2s i n1c oss i n1c os)2(???????? duuuduuuuduuuu ? ??? 20 2s in1co s0 ?? duuu 聊城大學(xué)本科畢業(yè)論文 9 20]sinarc tan[ ?? u? 42??. 例 10 計算 ?? ??4421cos?? dxe xx. 解 因積分區(qū)間關(guān)于原點對稱 , 可用公式 ? ?? ???aa a dxxfxfdxxf 0 )]()([)(, 于是 , 原式 ? ???? ?40 22 )1co s1co s(? dxe xe x xx ? ?????40 2 )1 11 1(co s? dxeexxx ?? 40 2cos? xdx )2(81 ?? ? . 對稱性在重積分中的應(yīng)用 關(guān)于對稱性在重積分中有如下定理 ： 定理 8 設(shè) ),( yxf 在有界閉區(qū)域 D 上連續(xù) , （ 1）若 D 關(guān)于 y 軸對稱 , 對于任意 Dyx ?),( , 則 ????? ?????? ???? .),(),(,),(2 ),(),(,0),(1時當(dāng)時；當(dāng)yxfyxfd x d yyxfyxfyxfd x d yyxfDD 其中 }0,{D 1 ??? xDyx ）（ . （ 2）若 D關(guān)于 x 軸對稱 , 對于任意 Dyx ?),( , 則 ????? ?????? ???? .),(),(,),(2 ),(),(,0),(2時當(dāng)時；當(dāng)yxfyxfd x d yyxfyxfyxfd x d yyxfDD 其中 }0,{D 2 ??? yDyx ）（ . 例 11 計算 ?? ???D yxyDdyx 4,:,)(22 ? . 解 yxyxf ?? 2),( 是關(guān)于 x 的偶函數(shù) , 積分區(qū)域 D關(guān)于 y 軸對稱 , 由對稱性聊城大學(xué)本科畢業(yè)論文 10 得到 ?? ?? ???D D dyxdyx 1 )(2)( 22 ?? ?? ?? 4 220 2 )(2 x dyyxdx 15234? . 例 12 計算 ?? ???D dx dyyxI )1(22, 其中 D 為矩形 22,11 ?????? yx . 解 容易看出積分中 yx, 對稱 , 有 ?? ??? 20 2210 )1(4 dyyxdxI ? ??? 10 2022 |)31(4 dxyyyx ? ?? 10 2 )3142(4 dxx 102 |]31432[4 xx ?? 364? . 例 13 計算 1:, ??? ?? yxDdx dyxyID. 解 積分中 yx, 對稱 , 由對稱性可知 d xd yxyd xd yxyI DD ???? ??14 dyxydx x?? ?? 10104 61? . 例 14 證明不等式 ?? ???D dxy 2)s in( c os122 ?. 其中 D 是正方形域 ： 10,10 ???? yx . 證 因為積分區(qū)域 D關(guān)于直線 xy? 對稱 , 所以 ?? dxdyDD ???? ?22 c osc os , 從而有 .
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