數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)畢業(yè)設(shè)計-對稱性在積分中的應(yīng)用(參考版)
2024-11-27 16:56本頁面
【正文】 解：積分區(qū)域 ? 關(guān)于 z 軸對稱，被積函數(shù) 2xyz 是 x， y的偶函數(shù)，將 ? 在第一象限中的 部分記做 1? ，則 ： dvxyz???? 2 = dvxyz????12 =2 dyxyzdxdzx? ? ?10101 23=2 ? ?1010222yxdzz811621632)164(2)221(2 10310221081026101021 3 ??????? ???? zdzzdzzxxdxxxdzzdxx ．曲線積分的對稱性 ． 1 第一型曲線積分的對稱性定理 定理 7：設(shè)平面內(nèi)光滑曲線 21 LLL ?? ,1L 與 2L 關(guān)于 x （或 y ）軸對稱，函數(shù) ),( yxf在 L 上連續(xù)，那么： （?。┤?),( yxf 是關(guān)于 y (或 x )的奇函數(shù)，則 ? dsyxf ),( 0? （ⅱ）若 ),( yxf 是關(guān)于 y (或 x )的偶函數(shù)，則 ? dsyxf ),( =2 dsyxfi? ),(1(i? ,)2 第 14 頁 共 19 頁 注： 設(shè)平面分段光滑曲線 L 關(guān)于 y 軸對稱，則 10 , ( , )( , )( , ) , ( , )L Lf x yf x y dsf x y ds f x y x??? ???? ?如 果 關(guān) 于 變 量 x 為 奇 函 數(shù)2 如 果 關(guān) 于 變 量 為 偶 函 數(shù) 其中 1L 是 L 的右半段： 1L = }0|),{( ?? xDyx 定理 8： 設(shè)平面內(nèi)光滑曲線 21 LLL ?? ,1L 與 2L 關(guān)于 x 軸對稱且方向相反，函數(shù)),( yxp 在 L 上連續(xù)，那么： （?。┤?),( yxp 是關(guān)于 x 的偶函數(shù)，則 ? dxyxp ),( 0? （ⅱ）若 ),( yxp 是關(guān)于 y 的奇函數(shù)，則 ? dxyxp ),( =2 dxyxpi? ),(1(i? ,)2 例 4：求曲線積分 ? ?dyxydxxyecyx )2s i n()2c os ()( 22 ?? ??，其中 c 是單位圓周 122 ??yx ，方向為逆時針方向 解： ∵曲線積分 c 可分為上 ,下兩個對稱的部分，在對稱點 ),( yx 與 ),( yx? 上， 函數(shù) dxxye yx )2co s()( 22 ?? 大小相同，但投影元素 dx 在上半圓為負，下半圓為正 ∴ dxxye yx )2co s()( 22 ?? 在對稱的兩個半圓上大小相等，符號相反 故 dxxyecyx )2c os ()( 22? ?? 0? 類似可知 dyxyecyx )2sin()( 22? ?? 0? 因此 ? ?dyxydxxyecyx )2s i n()2c os ()( 22 ?? ?? 0? 定理 9： 設(shè) L 是 xoy 平面上關(guān)于直線 ax? 對稱的一條曲線弧 （?。┤?),( yxf = ),2( yxaf ?? ,則 ?L dsyxf ),(0? （ⅱ）若 ),( yxf = ),2( yxaf ? ,則 ?L dsyxf ),(=2?1),(L dsyxf })|),{(( 1 axLyxL ??? 例 5：計算 dsxyyIL? ??? )2(3，其中 L 是曲線所圍成的回路 解： ∵ L 關(guān)于軸及直線 2?x 對稱 ∴ ? ?? ?????L LL dsdsxdsyyI 2)2()2(3 設(shè) ),( yxf = 32yy? 第 15 頁 共 19 頁 則 ),( yxf = ),( yxf? 設(shè) ),( yxg = 2?x 則 ),2( yxf ?? = 2?x = ),( yxf 即 200I ??? dsl?=?8 第二類曲線積分的對稱性定理 定理 1： 對于第二類曲線積分還需考慮投影元素的符號 .當(dāng)積分方向與坐標正方向之間的夾角小于 2? 時，投影元素為正，否則為負 .就 ? dxyxp ),( 而言，考察 ( , )px ydx 在對稱點上的符號 定理 2： 若積分曲線 T關(guān)于 x ,y ,z 具輪換對稱性，則 ?? ?? ????? ll ll dxyxzpdyxzypdzzyxpdxyxzpdyxzypdzzyxp ),(),(),(31),(),(),( 定理 3： 設(shè) L 是 xoy 平面上關(guān)于 ax? 對稱的一條光滑曲線弧， ?L 1L +2L ，任意),( yx ? L ,有 ),2( yxa? ? 2L ，且 1L ， 2L 在 y 軸投影方向相反，則 （?。┤?? ),( yx =? ),2( yxa? ,則 dyyxL ),(??0? （ⅱ）若 ? ),( yx =? ),2( yxa? ,則 dyyxL ),(??=2 dyyxL ),(?? 定理 4中，若 1L ， 2L 在 x 軸投影方向相同，其他條件不變，則有 （?。┤?p ),( yx =p ),2( yxa? ,則 ?L dxyxp ),(0? （ⅱ）若 ? ),( yx =? ),2( yxa? ,則 ?L dxyxp ),(=2 ?1),(L dxyxp 例：計算 I = ?? ????LL dxyxdyyx )1)(2(s i n2,其中拋物線 2( 2)x? 上從 )1,1(A 到)1,3(B 的一段弧 解： I = ?? ????LL dxyxdyyx )1)(2(s i n2= 21 LL? 因為關(guān)于 2?x 對稱 ? ),4( yx = |2| ?x ysin =? ),( yx 第 16 頁 共 19 頁 由定理 3有 )1)(2(),4( ????? yxyxp = ),( yxp? 所以 2L =0，即 ?L 21 LL? 定義 1：若 ? )(),( 321 NnRDxxxxp nnn ???????? 有 ),( 1211111 ?? ?? ixxxxxxpn， )2,1( niD n ??? 成立，則稱 nD 關(guān)于 ),( 321 nxxxxp ????? 具有輪換對稱性 . 定義 2： 若函數(shù) ),( 321 nxxxxF ????? ),( 321 nxxxxF ?????? )2,1( niX ??????? ，則稱函數(shù) ),( 321 nxxxxF ????? 關(guān)于函數(shù) nxxxx ?????321 , 具有輪換對稱性 . 第一類曲面積分對稱性定理 定理 1： 若積分曲面 S 可以分成對稱的兩部分 21 SSS ?? ，在對稱點上被積函數(shù)的絕對值相等 {即光滑曲面 S 關(guān)于 xoy (或 yoz ,或 z
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