數(shù)學專業(yè)畢業(yè)論文1----導數(shù)的應用(編輯修改稿)
2025-06-26 01:42 本頁面
【文章內容簡介】 用 ,也是與高等數(shù)學接軌的有力點 . 例 5 證明貝努利 ? ?Bernoulli 不等式 :如果 x 是實數(shù) ,且 1x?? , 0x? ,n 為大于 1的自然數(shù) ,那么 ? ?11nx nx? ? ? . 證明 令 ? ? ? ?11nf x x nx? ? ? ?,則 ? ? ? ? 11 nf x n x n?? ? ?． 1) 當 10x? ? ? 時 ,0 1 1x? ? ? ,而 10n?? , 因此 ? ? ? ?101 1 1nxx?? ? ? ?, 所以 ? ? 11 nn x n???, 故 ? ? 0fx? ? ,即 ??fx在 ? ?1,0? 上為減函數(shù) . 2) 當 0x? 時 ,11x??,而 10n?? , 因此 ? ? ? ?101 1 1nxx?? ? ? ?, 9 所以 ? ? 11 nn x n???, 故 ? ? 0fx? , 即 ??fx? 在 ? ?0,?? 上為增函數(shù) . 綜上可知 ??0f 是唯一的最小值 ,于是當 ? ? ? ?1, 0 0,x ? ? ??時 ,有? ? ? ?00f x f??,因此 ? ?11nxn? ? ? ? ?10x ?? ?且 x . 貝努利不等式很容易被推廣到更一般的情形 1) 當 a 是實數(shù) ,并且滿足 1a? 或 0a? 時 ,有 ? ? ? ?1 1 1ax ax x? ? ? ? ?, 2) 當 a 是實數(shù) ,并且滿足 01a??時 ,有 ? ? ? ?1 1 1ax ax x? ? ? ? ?. 例 6 已知 0x? ,證明 ? ?ln 1xx??. 證明 令 ? ? ? ?ln 1f x x x? ? ?,容易看出 ??fx在 ? ?0,?? 上可導 , 且 ? ? 11 11xfx xx? ? ???, 可得 當 ? ?0,x? ?? , ? ? 0fx? ? , 所以 ??fx在 ? ?0,?? 是增函數(shù) , 即 ? ?ln 1 0xx? ? ? , 所以 當 0x? 時 , ? ?ln 1xx??. 例 7 已知函數(shù) ? ? ? ?3 0f x ax cx d a? ? ? ?是 R 上的奇函數(shù) ,當 1x? 時 ??fx取得極值 2? ． 1) 求 ??fx的單調區(qū)間和極大值 . 2) 證明 對任意 ? ?12, 1,1xx?? ,不等式 ? ? ? ?12 4f x f x?? 恒成立 ． 解 1) ? ? 3 3f x x x??, ??fx在區(qū)間 ? ?1,1? 上是減函數(shù) ,極大值 ? ?12f ?? , 極小值 ? ?12f ?? ． ? ?過 程 略 2) 由 1) 知 , ? ? ? ?? ?323 1 , 1f x x x x? ? ? ?是減函數(shù) , 且 10 ??fx在 ? ?1,1? 上的最大值 ? ?12Mf? ? ? , ??fx在 ? ?1,1? 上的最小值 ? ?12mf? ?? , 所以 ,對任意的 ? ?1, 2 1,1xx?? ,恒有 ? ? ? ? ? ?12 2 2 4f x f x M m? ? ? ? ? ? ?． 如果能求出 ??fx在區(qū)間 ? ?,ab 上的最大值為 M ,最小值為 m ,那么對于任意? ?12,x x a b? ,恒有 ? ? ? ?12f x f x M m? ? ?． 通過上述的幾個實例 , 感受導數(shù)在研究函數(shù)和解決實際問題中的作用 ,特別是處理不等式的有關問題 ,從而體會導數(shù)的思想及其內涵． 求和 數(shù)列求和是中學數(shù)學中常見的問題 ,也是學生難以掌握的問題 ,用導數(shù)的相關性質來解決此類問題 ,快捷且容易理解 . 例 8??2 求 ? ?211 2 3 1nx x nx x?? ? ? ??????? ?的和 . 解 由于 ? ? 21 nf x x x x? ? ? ? ???????,對 x 求導得 ? ? 211 2 3 nf x x x nx ?? ? ? ? ? ???????, 因為 12 11 1 nn xx x x x??? ? ? ??????? ? ?, 對上式兩邊求導得 ? ?? ? 1212111 2 31nnn n x n xx x n xx?? ? ? ?? ? ? ?????? ? ??, 所以 ? ?? ? 1212111 2 31nnn n x n xx x n xx?? ? ? ?? ? ? ?????? ? ??. 求極限 常用的導數(shù)定義式 設函數(shù) ? ?y f x? 在點 0x 處可導 ,則有下列式子成立 ? ? ? ? ? ?0 00limxx f x f xfx xx? ?? ? ?。 11 ? ? ? ? ? ?000 0l imh f x h f xfx h? ??? ? . 巧用導數(shù)的定義式求極限 例 9 設 ??fx在 ? ?,ab 上連續(xù) , a c x b? ? ? ,證明 ? ? ? ? ? ? ? ?0 1l imn f t n f t d t f
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