數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)論文1----導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用-展示頁
2025-05-27 01:42本頁面
【正文】 ? , 所以 當(dāng) 0x? 時(shí) , ? ?ln 1xx??. 例 7 已知函數(shù) ? ? ? ?3 0f x ax cx d a? ? ? ?是 R 上的奇函數(shù) ,當(dāng) 1x? 時(shí) ??fx取得極值 2? ． 1) 求 ??fx的單調(diào)區(qū)間和極大值 . 2) 證明 對任意 ? ?12, 1,1xx?? ,不等式 ? ? ? ?12 4f x f x?? 恒成立 ． 解 1) ? ? 3 3f x x x??, ??fx在區(qū)間 ? ?1,1? 上是減函數(shù) ,極大值 ? ?12f ?? , 極小值 ? ?12f ?? ． ? ?過 程 略 2) 由 1) 知 , ? ? ? ?? ?323 1 , 1f x x x x? ? ? ?是減函數(shù) , 且 10 ??fx在 ? ?1,1? 上的最大值 ? ?12Mf? ? ? , ??fx在 ? ?1,1? 上的最小值 ? ?12mf? ?? , 所以 ,對任意的 ? ?1, 2 1,1xx?? ,恒有 ? ? ? ? ? ?12 2 2 4f x f x M m? ? ? ? ? ? ?． 如果能求出 ??fx在區(qū)間 ? ?,ab 上的最大值為 M ,最小值為 m ,那么對于任意? ?12,x x a b? ,恒有 ? ? ? ?12f x f x M m? ? ?． 通過上述的幾個(gè)實(shí)例 , 感受導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)和解決實(shí)際問題中的作用 ,特別是處理不等式的有關(guān)問題 ,從而體會(huì)導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵． 求和 數(shù)列求和是中學(xué)數(shù)學(xué)中常見的問題 ,也是學(xué)生難以掌握的問題 ,用導(dǎo)數(shù)的相關(guān)性質(zhì)來解決此類問題 ,快捷且容易理解 . 例 8??2 求 ? ?211 2 3 1nx x nx x?? ? ? ??????? ?的和 . 解 由于 ? ? 21 nf x x x x? ? ? ? ???????,對 x 求導(dǎo)得 ? ? 211 2 3 nf x x x nx ?? ? ? ? ? ???????, 因?yàn)? 12 11 1 nn xx x x x??? ? ? ??????? ? ?, 對上式兩邊求導(dǎo)得 ? ?? ? 1212111 2 31nnn n x n xx x n xx?? ? ? ?? ? ? ?????? ? ??, 所以 ? ?? ? 1212111 2 31nnn n x n xx x n xx?? ? ? ?? ? ? ?????? ? ??. 求極限 常用的導(dǎo)數(shù)定義式 設(shè)函數(shù) ? ?y f x? 在點(diǎn) 0x 處可導(dǎo) ,則有下列式子成立 ? ? ? ? ? ?0 00limxx f x f xfx xx? ?? ? ?。 當(dāng) 12 ln2k?? 時(shí) ,原方程有四解 。 f 在 ? ?0,?? 上為凹函數(shù) . 求切線的斜率 求曲線 ? ?y f x? 在點(diǎn) ? ?00,xy 處的切線的斜率 ,運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù) ,它的 幾何意義是曲線在該點(diǎn)處切線的斜率 ,利用導(dǎo)數(shù)可以十分便捷地分析處理解析幾何中的有關(guān)切線問題 . 6 例 3 已知函數(shù) ? ? lnf x x? , ? ? ? ?212g x x a a?? 為 常 數(shù),若直線 l 與 ? ?y f x?和 ? ?y g x? 的圖象都相切 ,且 直線 l 與 ? ?y f x? 的圖象相切于定點(diǎn) ? ?? ?1, 1pf . 1) 求直線 l 的方程和 a 的值 . 2) 當(dāng) kR? 時(shí) ,討論關(guān)于 x 的方程 ? ? ? ?2 1f x g x k? ? ?的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù) . 解 1) ??11f? ? 所以 1 1k? ,又切點(diǎn)為 ? ?? ?1, 1pf ,即 ? ?1,0 , 所 以 直線 l 的解析式為 1yx??, 因?yàn)? 直線 l 與 ? ?y g x? 相切 , 由 1yx?? 212y x a??,消去 y 得 2 2 2 2 0x x a? ? ? ?, 所以 ? ? ? ?22 4 2 2 0a? ? ? ? ? ?, 得 12a?? . 2) 令 ? ? ? ? ? ? ? ?2 2 21 l n 1 1 2 1 2h x f x g x x x? ? ? ? ? ? ?, 因?yàn)? ? ? ? ?? ? 211h x x x x x? ? ? ? ? ?, 則 ? ? 0hx? ? , ??hx為增函數(shù) , 10x? ? ? 或 1x? 時(shí) , ? ? 0hx? ? , ??hx 為減函數(shù) , 故 1x?? 時(shí) , ??hx取極大值 ln2 , 0x? 時(shí) , ??hx取極小值 12, 因此 當(dāng) ? ?ln 2,k? ?? ,原方程無解 。1 摘 要 :本文結(jié)合實(shí)例重點(diǎn)介紹了導(dǎo)數(shù)在判斷函數(shù)單調(diào)性、證明不等式和求極限等方面的應(yīng)用 . 關(guān) 鍵 詞 :導(dǎo)數(shù) ,單調(diào)性 ,不等式 ,極限 2 Abstract: In this paper,we main
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