數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)畢業(yè)論文等價無窮小量性質的理解推廣及應用-展示頁
2025-06-16 19:39本頁面
【正文】 α′,β～β′, 且 lim ′存在,則當 ≠0 且 lim 存在,有??339。ABCD???39。ABCD???ABCD???lim =lim ′.39。證明 因為 ,1139。39。39。ABB??????又 α～ α′,β～β′,于是, ,39。lim(1)li(1)0AB??????從而 =1,39。AB???即～ 39。同理可證～ .CD???39。故命題得證. 設在自變量的某一變化過程中, 、 、 及 、 、 都是無??4()fxg()hx1f1()gx1h窮小量.①若 ～ 、 ～ 、且 存在且 ,則有()fx1f()gx11lim()fx1li()fx??～ .(fg?1f②若 ～ 、 ～ 、且 存在且 ,則有()fx1f()gx11()lix1()lifgx～ .()fg?1()f③若 ～ 、 ～ 、 ～ 且 存在且 ,則有()fx1f()gx1hx1(limfgx1()lifxg??.1liffh??證明 ①因為= = .1limfg?1ligf1()limgf?又因為,1liliffg???故上式等于 1. ②因為5= = .1limfg?1ligf1()limgf?又因為,1liliffg??故上式等于 1. ③要證 成立,只需證 ,因為1limfgfh??1limhfg??～ , ～ ,f1f()x1所以結論得證.性質（1）、（3）的求極限中就使等價無窮小量的代換有了可能性,從而大大地簡“l(fā)im =c(≠1)”,“ ≠0”的使用.??39。ABCD??注意 1）需要注意的是在運用無窮小替換解題時,等價無窮小量一般只能在對積商的某一項做替換,和差的替換是不行的.2）以上性質說明我們利用無窮小量的代換性質將無窮小的等價替換推廣到和與差的形式,并對的不定式極限的求解作了簡化,使其適用的函數(shù)類范圍擴大,從而簡化函數(shù)極限的運算過程,對不定式極限的求解有很大的意義.3等價無窮小量的應用 等價無窮小量的應用在馮錄祥老師的171。、王斌老師的171。、華東師范大學數(shù)學系的171。、盛祥耀老師的171。、馬振明老師和呂克噗老師的171。、Shivakumar N, H. SCAM: A Copy Detection Mechanism for Digital Documents [A]. The 2nd International Conference in Theory and Practice of Digital Libraries[C]. USA Austin Texas: [s. n]以及劉玉璉老師和傅沛仁老師的171。中都有詳細的分析與注解,在這一部分我只是按照自己的需要從中選取內容,再加上自己篩選例題解答例：求函數(shù)的極限31在求極限中經常用到的等價無窮小量有 ～ ～ ～ ～ ～xsinarcsixtntarcx～ 1, ～ , ～ ,( →0).ln(1)x?e1cosx?21xa?l例 1 求 .20tanlimx?解 當 →0 時, ～ , ～ .1cosx?2tanx2原式= 204lix?= ..8例 2 求 .30tansilimxx??解 原式= ??30i1colsxx= (∵ ～ , ～ )230licosx??in1cosx?2= .12此題也可用洛必達法則做,但不能用性質②做.所以, = =0,不滿足性質②的條件,否則得出錯誤結論 ??30l?等價無窮小量在近似計算中的應用.如：利 用 等 價 無 窮 小 ， 在 做 近 似 計 算 ， 有 時 可 以 起 到 意 想 不 到 的 效 果 ，例 3 654求 的 近 似 值解 因為 時,0x.1nx??所以.?7 故 準 確 值 ， 保 留 小 數(shù) 點 后 位 可 得 )/..6??相 對 誤 差 為 （ 這 說 明 計 算 精 度 已 經 很 高利用等價無窮小量和泰勒公式求函數(shù)極限3.例 4 求極限 20lim(cos)inxxe???解 由于函數(shù)的分母中 ～ （ 0）,因此只需將函數(shù)分子中的 與分母2x?21x?中的 cosx 和 分別用佩亞諾余項的麥克勞林公式表示,即：2xe,2241()8ox????,2cosx）.2e1o()
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