【文章內容簡介】 m)()(39。39。??????xexBxx xAx ???? ?? 在這一類型題中，一般也不能直接運用公式，需要恒等變形進行化簡后才可以利用公式。 例 5：求下列函數的極限 (1) 23lim lim c o s c o s c o s c o s2 2 2 2 nnn x x x x? ? ? ????????????? (2) 22lim(1 )mm nm?? ? 解 ： (1) 23c o s c o s c o s c o s2 2 2 2 nx x x x 231 c os c os c os c os si n2 2 2 2 2si n 2 nnnx x x x xx? 1 sin2 sin 2n n xx? 23lim c o s c o s c o s c o s2 2 2 2 nn x x x x?? 1 si n si nl im si n2 si n l im 2 si n22n nnnnnxxxxx x????? ? ? 230lim lim c o s c o s c o s c o s2 2 2 2 nxn x x x x? ? ?????????????0 sinlim 1x xx??? （ 2） 2 2 2 22 2 22 2 2( ) ( ) 02 2 2l im ( 1 ) l im ( 1 ) l im ( 1 ) 1m n m nmm mn m nm m mn n n em m m? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 例 6：xxx ?? ?? sinlim 解：令 t= x?? .則 sinx=sin( ?? t)=sint, 且當 ??x 時 0?t 故 1sinsin limlim0 ??? ?? ttxxtx ?? 例 7：求 ? ?1 1sin 21lim ? ?? xxx 解：原式 = ? ? ? ?? ?? ?? ? ? ? ? ? 21 1s i n111 1s i n1 22121 l i ml i m ???????? ???? xxxxx xxxx 例 8: 求 xx x10 )21(lim ??的極限 解：原式 = 221210 )21()21(lim exxxxx ????????? ?? 利用這兩個重要極限來求函數的極限時要仔細觀察所給的函數形式只有形式符合或經過變化符合這兩個重要極限的形式時才能夠運用此方法來求極限。一般常用的方法是換元法和配指數法。 利用級數收斂的必要條件求極限 利用級數收斂 的必要條件：若級數1 nn ????收斂，則 0( )n n? ? ? ?運用這個方法首先判定級數1 nn ????收斂，然后求出它的通項的極限 。 例 9： 求 2lim( !)nnnn?? 解 ：設2( !)nn na n? 則 ? ?112( 1 ) ( !)lim lim ( 1 ) !nnnnnna nnann ??? ? ? ????? 11lim (1 )1 nn nn??? ? ?? 01?? 由比值判別法知1 nn a???收斂 由必要條件知2lim 0( !)nnnn?? ? 利用單側極限求極限 形如： (1) 求含 xa 的函數 x 趨向無窮的極限，或求含 1xa 的函數 x 趨 向 于 0 的極限 。 (2) 求含取整函數的函數極限 (3) 分段函數在分段點處的極限 (4) 含偶次方根或的函數以及 arctanx arc tancx的函數， x 趨向無窮的極限 . 這種方法還能使用于求分段函數在分段點處的極限，首先必須考慮分段點的左、右極限，如果左、右極限都存在且相等，則函數在分界點處的極限存在，否則極限不存在。 例 10： 21si n , 0()1 , 0xxfx xxx? ??? ????? 求 ()fx在 0x? 的左右極限 解 ：01lim sin 1n x x?? ?? 01lim sin 1n x x?? ?? 00lim ( ) lim ( ) 1nnf x f x?????? 0lim ( ) 1x fx? ? 利用函數的連續(xù)性求極限 即：)()](l i m[))((l i m)()(l i m)]([)()()(l i m)()(000000afxfxfauufaxxfiixfxfxxxfixxxxxxxx??????????????處連續(xù)，則在且是復合函數，又若處連續(xù)，則在若 這種方法適用于求復合函數的極限。如果 ()u gx? 在點 0x 連續(xù) 00()gx ?? ,而()yf?? 在點 0x 連續(xù)，那么復合函數 ( ( ))y f g x? 在點 0x 連續(xù)。即000lim ( ( ) ) ( ( ) ( lim ( ) )x x x xf g x f g x f g x????也就是說，極限號0limxx?可以與符號 f互換順序。 例 11： 求01limln(1 )xxx x? ? 解 ：令 lnyu? , 1(1 )xux?? 因為 lnu 在點0 1lim ln(1 ) xxuex??? ? ? 處連續(xù) 所以 1limln(1 )xx x?? ? 1ln[lim(1 ) ]xx x???? lne? 1? 利用無窮小量的性質求極限 無窮小量的性質：無窮小量與有界量的乘積還是無窮小量。如果0lim ( ) 0xxfx? ?, ()gx 在某區(qū)間 0 0 0 0( , ), ( , )x x x x????有界，那么0lim ( ) ( ) 0xx f x g x? ??.這種方法可以處理一個函數不存在但有界和 另一個函數的極限是零的極限的乘積的問題。 例 12：求 sinlimxxx?? 解： 因為 sin 1x? 1lim 0x x?? ? 所以 sinlim 0xxx?? ? 利用等價無窮小量代換求極限 定理 1 無窮小與有界函數的乘積仍然是無窮?。礃O限是 0）。 定理 2 當 0?x 時，下 列函數都是無窮?。礃O限是 0），且相互等價，即有：