極限求解的若干方法-應(yīng)用數(shù)學(xué)畢業(yè)論文(編輯修改稿)
2025-07-02 08:59 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 m)()(39。39。??????xexBxx xAx ???? ?? 在這一類型題中，一般也不能直接運(yùn)用公式，需要恒等變形進(jìn)行化簡后才可以利用公式。 例 5：求下列函數(shù)的極限 (1) 23lim lim c o s c o s c o s c o s2 2 2 2 nnn x x x x? ? ? ????????????? (2) 22lim(1 )mm nm?? ? 解 ： (1) 23c o s c o s c o s c o s2 2 2 2 nx x x x 231 c os c os c os c os si n2 2 2 2 2si n 2 nnnx x x x xx? 1 sin2 sin 2n n xx? 23lim c o s c o s c o s c o s2 2 2 2 nn x x x x?? 1 si n si nl im si n2 si n l im 2 si n22n nnnnnxxxxx x????? ? ? 230lim lim c o s c o s c o s c o s2 2 2 2 nxn x x x x? ? ?????????????0 sinlim 1x xx??? （ 2） 2 2 2 22 2 22 2 2( ) ( ) 02 2 2l im ( 1 ) l im ( 1 ) l im ( 1 ) 1m n m nmm mn m nm m mn n n em m m? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 例 6：xxx ?? ?? sinlim 解：令 t= x?? .則 sinx=sin( ?? t)=sint, 且當(dāng) ??x 時(shí) 0?t 故 1sinsin limlim0 ??? ?? ttxxtx ?? 例 7：求 ? ?1 1sin 21lim ? ?? xxx 解：原式 = ? ? ? ?? ?? ?? ? ? ? ? ? 21 1s i n111 1s i n1 22121 l i ml i m ???????? ???? xxxxx xxxx 例 8: 求 xx x10 )21(lim ??的極限 解：原式 = 221210 )21()21(lim exxxxx ????????? ?? 利用這兩個(gè)重要極限來求函數(shù)的極限時(shí)要仔細(xì)觀察所給的函數(shù)形式只有形式符合或經(jīng)過變化符合這兩個(gè)重要極限的形式時(shí)才能夠運(yùn)用此方法來求極限。一般常用的方法是換元法和配指數(shù)法。 利用級(jí)數(shù)收斂的必要條件求極限 利用級(jí)數(shù)收斂 的必要條件：若級(jí)數(shù)1 nn ????收斂，則 0( )n n? ? ? ?運(yùn)用這個(gè)方法首先判定級(jí)數(shù)1 nn ????收斂，然后求出它的通項(xiàng)的極限 。 例 9： 求 2lim( !)nnnn?? 解 ：設(shè)2( !)nn na n? 則 ? ?112( 1 ) ( !)lim lim ( 1 ) !nnnnnna nnann ??? ? ? ????? 11lim (1 )1 nn nn??? ? ?? 01?? 由比值判別法知1 nn a???收斂 由必要條件知2lim 0( !)nnnn?? ? 利用單側(cè)極限求極限 形如： (1) 求含 xa 的函數(shù) x 趨向無窮的極限，或求含 1xa 的函數(shù) x 趨 向 于 0 的極限 。 (2) 求含取整函數(shù)的函數(shù)極限 (3) 分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的極限 (4) 含偶次方根或的函數(shù)以及 arctanx arc tancx的函數(shù)， x 趨向無窮的極限 . 這種方法還能使用于求分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的極限，首先必須考慮分段點(diǎn)的左、右極限，如果左、右極限都存在且相等，則函數(shù)在分界點(diǎn)處的極限存在，否則極限不存在。 例 10： 21si n , 0()1 , 0xxfx xxx? ??? ????? 求 ()fx在 0x? 的左右極限 解 ：01lim sin 1n x x?? ?? 01lim sin 1n x x?? ?? 00lim ( ) lim ( ) 1nnf x f x?????? 0lim ( ) 1x fx? ? 利用函數(shù)的連續(xù)性求極限 即：)()](l i m[))((l i m)()(l i m)]([)()()(l i m)()(000000afxfxfauufaxxfiixfxfxxxfixxxxxxxx??????????????處連續(xù)，則在且是復(fù)合函數(shù)，又若處連續(xù)，則在若 這種方法適用于求復(fù)合函數(shù)的極限。如果 ()u gx? 在點(diǎn) 0x 連續(xù) 00()gx ?? ,而()yf?? 在點(diǎn) 0x 連續(xù)，那么復(fù)合函數(shù) ( ( ))y f g x? 在點(diǎn) 0x 連續(xù)。即000lim ( ( ) ) ( ( ) ( lim ( ) )x x x xf g x f g x f g x????也就是說，極限號(hào)0limxx?可以與符號(hào) f互換順序。 例 11： 求01limln(1 )xxx x? ? 解 ：令 lnyu? , 1(1 )xux?? 因?yàn)?lnu 在點(diǎn)0 1lim ln(1 ) xxuex??? ? ? 處連續(xù) 所以 1limln(1 )xx x?? ? 1ln[lim(1 ) ]xx x???? lne? 1? 利用無窮小量的性質(zhì)求極限 無窮小量的性質(zhì)：無窮小量與有界量的乘積還是無窮小量。如果0lim ( ) 0xxfx? ?, ()gx 在某區(qū)間 0 0 0 0( , ), ( , )x x x x????有界，那么0lim ( ) ( ) 0xx f x g x? ??.這種方法可以處理一個(gè)函數(shù)不存在但有界和 另一個(gè)函數(shù)的極限是零的極限的乘積的問題。 例 12：求 sinlimxxx?? 解： 因?yàn)?sin 1x? 1lim 0x x?? ? 所以 sinlim 0xxx?? ? 利用等價(jià)無窮小量代換求極限 定理 1 無窮小與有界函數(shù)的乘積仍然是無窮?。礃O限是 0）。 定理 2 當(dāng) 0?x 時(shí)，下 列函數(shù)都是無窮小（即極限是 0），且相互等價(jià)，即有：
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