極限的求法與探究研究畢業(yè)論文(編輯修改稿)
2025-07-21 02:57 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ：(1) ＝ ＝ ＝ ＝＝＝1(2) ＝ ＝ ＝＝1 由定積分的定義知，若在上可積，則可對用某種特定的方法并取特殊的點(diǎn)，所得積分和的極限就是在上的定積分．因此，遇到求一些和式的極限時(shí)，若能將其化為某個(gè)可積函數(shù)的積分和，就可用定積分求此極限．這是求和式極限的一種方法． 例4:求極限解： 對所求極限作如下變形： ．不難看出，其中的和式是函數(shù)在區(qū)間上的一個(gè)積分和，所以有我們把兩個(gè)無窮小量或兩個(gè)無窮大量的比的極限統(tǒng)稱為不定式極限，分別記作型或型的不定式極限?，F(xiàn)在我們將以導(dǎo)數(shù)為工具研究不定式極限，這方法通常稱為洛比達(dá)法則。洛必達(dá)法則只能對或型才可直接使用，其他待定型必須先化成這兩種類型之一，然后再應(yīng)用洛必達(dá)法則。洛必達(dá)法則只說明當(dāng) 等于 A 時(shí)，那么也存在且等于A. 如果不存在時(shí)，并不能斷定也不存在，只是這是不能用洛必達(dá)法則，而須用其他方法討論 。 例5：(1) 求 (2)求 解：(1) 由 所以上述極限是待定型＝＝＝1(2) 它為型 由對數(shù)恒等式可得 = ＝Stolz公式和洛必達(dá)法則是求極限的有效方法，但是用此定理就非常的簡單了，而用此定理可使分子分母中的很多項(xiàng)消去從而簡化計(jì)算，： Stolz 定理1（）：已知兩個(gè)數(shù)列｛｝、{},數(shù)列{}嚴(yán)格單調(diào)上升，而且+，當(dāng)+,=,其中為有限數(shù)或?yàn)椋颍瓌t＝；Stolz 定理2（）：已知兩數(shù)列{}、{}，0當(dāng)+；數(shù)列{}嚴(yán)格單調(diào)下降而且0當(dāng)+；= ，其中為有限數(shù)或?yàn)椋颍?則Stolz 定理的函數(shù)形式：Stolz定理3（型）：若T0為常數(shù)， 1) ,2) +,當(dāng)+且,在[a, +]內(nèi)閉有界，即ba,， 在[a ,b]上有界，3) ＝. 則＝Stolz 定理4（）：若T0為常數(shù)，1)0 ，2) =0, =0，3) ＝.則,其中＝或有限數(shù)或證明： 因?yàn)閱握{(diào)遞增且趨于又 故由Stolz定理知: =（a,）內(nèi)有定義，而且內(nèi)閉有界，即任意[]（a,）, 在[]上有界，則1）＝[ ] 2) ()= ,其中（c0）.證明：1）從題意知 令=,則,都符合定理的條件，令T=1所以可以直接套用定理，＝＝[ ],2) 令y=(),則=, == ＝，由的連續(xù)性，所以 =得證.從上可以看出利用Stolz定理求極限的形式是非常有規(guī)律的，我們要善于發(fā)現(xiàn)式子的規(guī)律，但應(yīng)具體問題具體分析，關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)所要求極限式的特點(diǎn).： （1）利用無窮小量的性質(zhì)求極限： 無窮小量的性質(zhì)：無窮小量與有界量的乘積還是無窮小量。如果,g(x)在某區(qū)間有界，和另一個(gè)函數(shù)的極限是零的極限的乘積的問題。 例8：求 解： 因?yàn)? 所以 ＝0(2)利用等價(jià)無窮小量代換求極限： 等價(jià)無窮小量：當(dāng)時(shí)，稱y,z是等價(jià)無窮小量：記為 yz 在求極限過程中，往往可以把其中的無窮小量，或它的主要部分來代替。但是，不是乘除的情況，不一定能這樣做。 例9：求 解：＝＝8 泰勒展開式：若 f(x)在x=0點(diǎn)有直到n+1 階連續(xù)導(dǎo)數(shù),那么 (其中在0與1之間) 常用的展開式：上述展開式中的符號都有:
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