【文章內(nèi)容簡介】 也明確指出 ⑥ ： “ 學生的數(shù)學學習活動不應只限于 接受、記憶、模仿和練習，高中數(shù)學課程還應提倡自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學等學習數(shù)學的方式 ” ?！敖處煈ぐl(fā)學生的學習積極性，向?qū)W生提供充分從事數(shù)學活動的機會，幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數(shù)學知識與技能、數(shù)學思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學活動經(jīng)驗” ⑦ 。教師應“為學生形成積極主動地、多樣的學習方式進一步創(chuàng)設有利條件，以激發(fā)學生的數(shù)學學習興趣，鼓勵學生在學習過程中，養(yǎng)成獨立思考 、積極探索的習慣。 ” “讓學生體驗數(shù)學發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的里程，發(fā)展他們的創(chuàng)新意識?！?⑧ 2． 理論依據(jù) 布魯納的認知 —— 發(fā)現(xiàn)學習理論認為：學習者的學習過程不僅是主動地對 進入感覺的事物進行選擇、轉(zhuǎn)換、儲存和應用的過程，而且是主動學習，適應和改造環(huán)境的過程。在學習的 過程中，學習者應充分發(fā)揮自己的主觀能動性，親自去發(fā)現(xiàn)、探索所學知識和規(guī)律，使自己變成發(fā)現(xiàn)者。學習者在一定的情境中，對學習材料的親身體驗和發(fā)現(xiàn)的過程，才是學習者最重要和有價值的東西。布魯納認為“不論是在校兒童憑自己的力量 所作的發(fā)現(xiàn)，還是科學家努力于日趨尖端的研究領域所作的發(fā)現(xiàn)，按其實質(zhì)來說，都不過是把現(xiàn)象重新組織或轉(zhuǎn)換，使人能超越現(xiàn)象再進行組合，從而獲得新的領悟而已 。 ” 根據(jù)他的觀察和研究 ，無論是科學家在尖端知識的研究上，還是小學三年級的學生在教室中的學習，智力活動完全一樣，其間的差別僅在程度上而不在性質(zhì)上。所以，布魯納指出：教學過程就是教 ⑥ 中華人民共和 國教育部制定。普通高中數(shù)學課程標準（試驗），人民教育出版社 2022（ 4） ⑦ 中華人民共和國 教育部制定，義務教育數(shù)學課程標準解讀（實驗稿），北京師范大學出版社， 2022 ⑧ 中華人民共和國教育部制定。普通高中數(shù)學課程標準（試驗），人民教育出版社 2022（ 4） 17 師引導學生發(fā)現(xiàn)的過程。 弗萊登塔爾 認為，數(shù)學是“源于現(xiàn)實、寓于現(xiàn)實、用于現(xiàn)實”。因此，數(shù)學教育必須基于學生的“數(shù)學現(xiàn)實”，數(shù)學教師應幫助學生構(gòu)造數(shù)學現(xiàn)實，并在此基礎上發(fā)展他們的數(shù)學現(xiàn)實。這也正是探究式學習研究的前提和原則，數(shù)學來源于現(xiàn)實生活，每個學生的生活經(jīng)歷不一樣，因此要因材施教。數(shù)學教育的過程又是學習“數(shù)學化”和“形式化”的過程。 數(shù)學探究式教學要培養(yǎng)學生對現(xiàn)實生活中的數(shù)學問題進行抽象、提煉，進而形成自己的數(shù)學結(jié)論。 學生學習數(shù)學的過程又是一個“再創(chuàng)造”過程。學生不是被動地接受知識，而是在創(chuàng)造，把前人已經(jīng)創(chuàng)造過的數(shù)學知識重新創(chuàng)造一遍。教師的任務就是為學生的發(fā)展、創(chuàng)造提供自由廣闊的天地，在于引導學生探索獲得知識、技能的途徑和方法，培養(yǎng)學生的創(chuàng)造力。 二、數(shù)學探究式學習的實踐基礎 自從 20 世紀 80 年代以來，我國在有關(guān)探究性學習方面作了一系列的教改實驗，這些學校的實驗為本課題的研究提供了一些實踐基礎。如：上海師大附中的“引導發(fā)現(xiàn)法”，撫順二中 的“問題教學法”，遼寧實驗中學的“實驗教學法”，陜西省的“誘思探究教學”試驗等。 第三章 數(shù)學探究式學習課堂教學模式 一 、 探究性課堂教學材料的選擇 無論教學如何改革， “有效的課堂 ”是我們永恒的追求。在新課程改革實施后的今天，許多教育專家、一線的教師都不約而同地提出了“有效課堂”的觀點。這是對目前教學中課堂教學低效、甚至無效的一種反思和回 18 應。作為教學一線教師的我認為，造成教學低效運作的其中一個重要原因是教師對教材 —— 即學生學習材料的解讀、選擇、使用不到位。教學中我們經(jīng)?？梢钥吹竭@樣一些現(xiàn)象，有的教師在解讀學 習材料時缺乏系統(tǒng)性，孤立地看待某一冊或某一單元的學習材料；有的教師不注意學習材料的選擇，所用的學習材料缺乏典型性、啟發(fā)性；有的教師注意了學習材料的選擇，但因一味追求“時髦”，原有的教學目標卻沒有達成；還有的教師盡管選擇了比較合適的學習材料，但使用學習材料時卻是匆匆走過場，沒有發(fā)揮學習材料應有的教育價值。為此， 我 對“如何深入解讀、合理使用教材中的學習材料？”引發(fā)動態(tài)生成資源進行了思考和實踐。 一、系統(tǒng)解讀，深入領會學習材料 在數(shù)學教學中，要求數(shù)學教師不要機械地“教教材”，而是要“用教材教”，要求教師對教材作出 合理、適度的加工與改造。但是，不要“教教材”不等于不要鉆研教材，不要把握教材意圖。相反，真正有效的課堂，教師需要對學習材料有一個深刻、全面、系統(tǒng)的解讀。 解讀學習材料，首先要會系統(tǒng)解讀教材。 通過解讀，理清教材中各個內(nèi)容領域的編排線索，善于將某一知識點置于這一單元、這一學段 ，也就是數(shù)學知識間的縱向銜接， 善于將教材中某一知識與其他學科有機結(jié)合。 這樣才能明確該知識點在教學中的地位、作用，也就是這一知識點是在怎樣的基礎上發(fā)展起來的，又怎樣為后面知識的學習作準備。 （一） 、數(shù)學與其他 學科之間的橫向 有機結(jié)合 數(shù)學 本身不是孤立的 。 學校的各科教學內(nèi)容是一個綜合性的整體系統(tǒng)。它們之間相互影響，相互滲透，相互聯(lián)系。為此，數(shù)學教學應考慮把 19 與其他學科相互配合的內(nèi)容，提煉出來，配合其他學科教學。這樣會形成教學的合力，在學生的頭腦中構(gòu)建起知識網(wǎng)絡，有利于知識的理解、深化和數(shù)學素養(yǎng)的形成。 例 1：在平面幾何中：兩點之間距離最短，是一個很普通的結(jié)論。它在課本中作為公理出現(xiàn)的。但是在解決與之相關(guān)問題時，往往采用的是物理學中的光學里的入射，反射光線的知識求解的。 如： （ 1）在 x 軸 上找一點 P 使 |PA|+|PB|最小，并求此最小值。 在設計出這一問題后，再從光學角度設計下列問題：設光線從 A 出發(fā)，經(jīng)鏡面 x 反射后到達 B 點，試作出光線的傳播路線圖。 學生自然就會發(fā)現(xiàn)這兩個圖完全一樣，因而體會到學科知識間的這種緊密聯(lián)系。 （二）、數(shù)學知識間的縱向銜接 又如，在上題中（ 2）在 x 軸上找一點 P 使 |PB|－ |PA|最大 ,并求此最大值。 對于這個問題，一般采用在 x 軸上設出點 P(x,0)，再采用線段差構(gòu)造成函數(shù)來求最值。這種方法雖然能達到解決問題的目的，但卻極為煩瑣。如果我們在解決此問題的教學中，引導學生 聯(lián)想在初中三角形中，兩邊之y ． B（ 4， 3） ． A（ 1， 1） O x 20 差小于第三邊的知識來解決這個問題，就為學生創(chuàng)設了一個很好的探究情境，易得到 P、 A、 B 三點只要不在一條直線上，就一定可以構(gòu)成三角形PAB，則 |PB|－ |PA|＜ |AB|，但若 P、 A、 B 三點共線，則 |PB|－ |PA|=|AB|。所以， P 點是 BA 的延長線與 x 軸的交點時 |PB|－ |PA|最大，且為 |AB|。因而在學習數(shù)學知識的時候，我們不但掌握當前的知識，還應回顧以前的知識與之相銜接。 （三）、選擇可歸納為一般性結(jié)論的數(shù)學問題 如例 1：函數(shù) f(x)=ax3+3x2+cx+d,若該函數(shù)為偶函 數(shù)，其圖象又過（ 1，0）點，求 f(x)解析式。 由該偶函數(shù)定義，易得 a=c=0，又過（ 1， 0）點由 f(1)=0 得到 d=－ 3 故函數(shù)解析式為 f(x)=3x2－ 3. 例 2：函數(shù) f(x)=ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f 為偶函數(shù)，又過（ 0， 1）、 （ 1， 0）、（ 2， 3），求 f(x)的解析式。 例 2 解法同 1。 此時，推廣到一般情形 :f(x)=a0+a1x2+a2x2+?? +anxn 若 該函數(shù)為偶函數(shù)，則 ak(k=0,1,2,?? ,n)應滿足 什么條件？若該函數(shù)為奇函數(shù)，則ak(k=0,1,2,?? ,n)又 應滿足 什么條件？ 學生在掌握了例 1， 2 之后，即可總結(jié)出一般情形的結(jié)論。 （四）、選擇開放性數(shù)學問題 1．“發(fā)散性”思維數(shù)學問題 有一 圓柱形杯子，如圖所示，杯口直徑為 4cm，高為 A 點出發(fā)繞杯子爬一圈到達 D 點，求這只螞蟻爬的最短路程是多少？ 看上去這個問題是很難入手解決，但是若我們把這個杯子看做紙做的，然 21 后用筆來畫螞蟻爬的路線。畫完后，我們將紙做的杯子展開如下圖所示： A B A1 這時發(fā)現(xiàn)當螞蟻走的路線恰是線段 AD1時所走的路 程最短。這樣把很難想象的空間幾何問題轉(zhuǎn)化成平面圖形，使問題得到簡化。 2．“開放性”數(shù)學問題 長久以來，學生都在解決條件具備且具有唯一標準答案的數(shù)學問題，這就很容易產(chǎn)生錯覺，數(shù)學問題就是計算那些已經(jīng)具有一定模式的問題，這就誤導了學生，也阻礙了其積極參與的熱情。而數(shù)學開放性題的引入給數(shù)學教育注入了活力，由于這種多變性使學生對數(shù)學產(chǎn)生極大興趣。 例：現(xiàn)有含鹽 15%的鹽水 20g，含鹽 40%的鹽水 15g，另有足夠的純鹽和水，要配制成含鹽 20%的鹽水 30g。 ①試設計多種配制方案。②試對你的各種方案從不同角度作出評價 。 解讀學習材料，教師還要學會在細節(jié)上推敲。 要深入研究教材對教學活動所蘊含的啟示，包括教材上的每一幅插圖、每一句提示語言。教材鉆研得越深，課上起來就越簡單、越得心應手。 二、走進生活，有效擴展學習材料 數(shù)學課程標準提出：“要提供更貼近學生的生活實際和社會發(fā)展實際的數(shù)學教學材料，提供更具有豐富數(shù)學結(jié)構(gòu)的數(shù)學教學材料?！苯滩慕o我們提供了導向作用，像 利息的計算（可以拓展到按揭購房月供的計算），歐拉定理發(fā)現(xiàn) 等，這些都是豐富的教材資源。我想，動態(tài)生成資源的有效 A B D C D C D1 22 引發(fā)，還需要教師在教學中精心選擇學習材料，擴展素材 。當然解讀教材、用好教材提供的學習材料是前提，如果教材提供的學習材料或呈現(xiàn)方式不利于學生學習的開展，教師就要創(chuàng)造性地處理教材，發(fā)現(xiàn)和選擇有利于學生發(fā)展的學習材料，促進學生主動學習、和諧發(fā)展。 適當調(diào)整教學內(nèi)容，用“實”教材 教材不是唯一的課程資源，但卻是重要的課程資源，教師在實際的教學中應根據(jù)學生的認識規(guī)律和現(xiàn)有水平，在領會教材意圖的同時，不受教材的約束和限制，改革教材中的不合理因素，適當調(diào)整教學內(nèi)容，用實教材，使學生的的知識與能力結(jié)構(gòu)更趨合理，使教學時時充滿探究性、挑戰(zhàn)性。其流程為：分析教材，領會教材 的編排意圖 —— 分析學生，了解學生認識規(guī)律及現(xiàn)有水平 —— 確定教學目標 —— 找尋課程資源，分析教材的不合理因素 —— 調(diào)整教材，整合資源。 教師如果能在理解教材、把握教材本質(zhì)的基礎上，合理、靈活地處理教材中的學習材料，就能促進學生更好地投入學習，促進動態(tài)生成資源的有效引發(fā)。 適當改變教學素材，用“寬”教材 社會生活紛呈復雜，包羅萬象，蘊涵著豐富的數(shù)學教學資源，面對教材中脫離學生生活實際或?qū)W生不感興趣的素材，教師有必要從學生感興趣的生活實際入手，去采擷生活實例，為課堂教學服務。 當然，在用“實”、用“寬”教材的同時 ，我們必須把握教材本質(zhì)，關(guān)注學習材料的數(shù)學味、目的性、實效性、科學性，避免為追趕“時髦”而“隨心所欲”用教材、為拓展資源而“濫用材料?！敝挥芯倪x擇學習材料，才能有效引發(fā)動態(tài)生成資源，真正提高數(shù)學教學的實效性。 23 三、深入分析，合理使用學習材料 充分挖掘， 讓教材 “立 ”起來 新課程標準實驗數(shù)學教材較好地體現(xiàn)了課程標準的理念和總體培養(yǎng)目標。注意從形成學生學習經(jīng)驗的角度出發(fā)，充分考慮學生的年齡特征、認知水平，增強了書本知識與現(xiàn)實生活的聯(lián)系。教材在內(nèi)容、結(jié)構(gòu)、題例和呈現(xiàn)方式上，既注意了繼承與發(fā)展的關(guān)系，又注意體現(xiàn) 了開放的教材觀、開放的學習方式和教學方法。 教師在使用學習材料時要注意充分挖掘?qū)W習材料的價值，充分發(fā)揮材料的功能，防止“匆匆走過場”的現(xiàn)象。 當然學習材料的充分使用可以是多方面的，可以是同一材料在一節(jié)課中的多次使用，可以是形式內(nèi)容的多次變換，也可以是材料的分層使用，還可以通過老師的一句話、一次追問或一個簡單的設計使學習材料的教育價值發(fā)揮得更加充分。 合理呈現(xiàn)，讓教材“活”起來 同一學習材料的不同呈現(xiàn)方式會影響學生的探究活動以及對知識的理解，教師要善于從學習的角度對學習材料進行進一步的組織和加工，使學習材料 的呈現(xiàn)能展示知識的形成過程，利于學生的“再創(chuàng)造”，利于調(diào)動學生已有的知識和經(jīng)驗，激活智慧潛能，激發(fā)學生主動地和富有個性地探索問題、解決問題，真正提高數(shù)學課堂的效益。 有的信息資源通過文本呈現(xiàn)給學生的只能是靜態(tài)的畫面，有的內(nèi)容學生所看到的可能只有部分思維的結(jié)果。這種呈現(xiàn)形式不利于引發(fā)學生發(fā)現(xiàn)并提出問題、思考和探究問題，也不利于學生主動建構(gòu)新知。教師可根據(jù)教學要求，從學生的實際出發(fā)，改變教材的呈現(xiàn)形式，把靜止的畫面變?yōu)閯討B(tài)的、有利于激發(fā)學生興趣的、有利于學生參加數(shù)學活動和引發(fā)數(shù)學問題的情境，促使學生積極地 24 去進行探 索，使學生學得更積極主動、富有個性。 課改的實踐證明，深入解讀、精心選擇和合理使用學習材料，是動態(tài)生成資源有效引發(fā)的重要前提，是邁向新課程理念指導下有效課堂堅實的第一步。 二、數(shù)學探究性學習的課堂教學模式 （一）、發(fā)現(xiàn)性探究式學習模式 —— “三線五環(huán)節(jié)”課堂教與學教學模式 ⑨ 該模式中的 “三線”是指“教線”、“學線”和“問題線”。其中“學線”是主線，“問題線”是核心，“教線”是通過“問題線”作用于學生的“學線”，是為“學線”服務的，目的是保障和提高“學線”的質(zhì)量和效果；而“學線”又通過“問題線”反作用于“教線” ，促使“教線”更加完美。其結(jié)構(gòu)如下： 教線： （ 教師 ） 創(chuàng)設 ． ． 問題情境 —— 指導 ． ． 探索研究 —— 組織 ． ． 交 流討論 —— 提供 ． ． 變式應用 —— 引導 ． ． 總結(jié)提煉 （給材料給方向） （給途徑給時間）（給任務給機會） （給示范給方法）（給策略給結(jié)構(gòu)） 問題線 ： 問題情境 — 發(fā)現(xiàn)問題 — 提出問題 — 解決問題 — 反思問題 （激發(fā)動機） （觀察分析） （歸納猜測） （質(zhì)疑驗證） （回顧總