自考畢業(yè)論文-淺談求極限的若干方法(編輯修改稿)
2024-07-10 12:39 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 31112li m1 22xxxx??????? 注：本題為“約去無窮大因子” 二、利用數(shù)列相關性質(zhì)求極限： 、兩邊價準則： 若一正整數(shù) N,當 nN 時，有 nx ? ny ? nz 且 lim lim ,nnxxx z a?? ????則有 lim nx ya?? ? 利用兩邊夾準則求極限關鍵在于從 nx 的表達式中，通常通過放大或縮小的方法找出兩個有相同極限值的數(shù)列 ??ny 和 ??nz ，使得 n n ny x z?? 。 例： 2 2 21 1 1.......12nx n n n n? ? ?? ? ? 求 nx 的極限。 解 ： 2 2 2 21 1 1.......n nx n n n n n n n n? ? ? ? ?? ? ? ? 2 2 2 21 1 1.......1 1 1 1n nx n n n n? ? ? ? ?? ? ? ? 則 221nnnxn n n???? 又 22lim lim 11xxnnn n n? ? ? ????? 所以： lim 1nx x?? ? 、單調(diào)有界準則：單調(diào)有界數(shù)列必收斂，且極限唯一 例： 2 , 2 2 ,? ?? ， 2 2 .. .. .. 2? ? ? 解：設 2 2 ...... 2na ? ? ? ? 2 2 ...... 2na ? ? ? ?，則易知數(shù)列 { na }是遞增的，現(xiàn)在用數(shù)學歸納法證明數(shù)列 {na }有上界， 假設 2n?a 則有 1 2 2 2 2nna ? ? ? ? ? ?a ，從而對一切 n 以后 2n?a ，即數(shù)列 {na }有上界。 有單調(diào)性知道，數(shù)列 {na }有極限，記為 a ,由于 21,2nnaa? ?? 兩邊取極限可得： 1)( 2) 0aa? ? ?（ ，解得： 1a?? 或 2a? ，由數(shù)列保不等式性知 a 只能 取 2。 故有 lim 2 2 .. .. .. 2 = 2x ?? ? ? ?。 、利用無窮小量的性質(zhì)求極限： 無窮小量的性質(zhì)：無窮小量與有界變量的 乘積 還是無窮小量。如果0lim ( ) 0xxfx? ? ,g(x)在某區(qū)間 內(nèi) 有界，那么 0lim ( ) ( ) 0xx f x g x? ??.這種方法可以處理一個函數(shù)不存在但有界，和另一個函數(shù)的極限是零的極限的乘積的問題。 例：求 1lim sinx xx?? 解： 因為 sin 1x ? 1lim 0x x?? ? 所以，原式＝ 0 、利用極限的四則運算求極限 利用極限的四則運算性質(zhì)： 1：兩收斂數(shù)列的和或積或差也收斂且和或積或差的極限等于極限和的或差。 2：兩收斂數(shù)列且作除數(shù)的數(shù)列的極限不為零，則商的極限等于極限的商。 總結(jié)：通常在這一類型的題中，一般都含有未定式不能直接進行極限的四則運算。首先對函數(shù)施行各種恒等變形。（例如分之，分母分解因式，約去趨于零但不等于零的因式；分之，分母有理化消除未定式；通分化簡；化無窮多項的和（或積）為有限項。） 例；求極限 (1)、 221 1lim 21x xxx? ??? (2)、 3 12lim 3x xx? ??? 1）解：221 1 11 ( 1 ) ( 1 ) 1 2l im l im l im2 1 ( 2 1 ) ( 2 1 ) 2 1 3x x xx x x xx x x x x? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? 2）解： 331 2 ( 1 2 ) ( 1 2 ) 1l im l im34( 3 ) ( 1 2 )xxx x xx xx??? ? ? ? ? ???? ? ? ? 、 利用兩個重要極限公式求極限 在這一類型題中，一般也不能直接運用公式，需要恒等變形進行化簡后才可以利用公式。 (1) 0 s in 1lim lim s in 1xxx xxx? ? ??? (2) 101l im (1 ) l im (1 )x xxx xex? ? ?? ? ? ? 例：求下列函數(shù)的極限 (1) 1lim sinx x x?? (2) 22lim (1 ) mmnm?? ? 解： （ 1） 令 1t x? 則 ,原式 =0si nlim 1ttt? ? （ 2） 2222 ()0l im ( 1 ) l im ( 1 ) 1mn mnmxxnn emm ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? 三：洛必達法則求極限： 洛必達法則只能對 00 或 ?? 型才可直接使用，其他待定型必須先化成這兩種類型之一，然后再應用洛必達法則。洛必達法則只說明當 // ()lim ()fxgx 等于 A 時，那么 ()lim ()fxgx 也存在且等于 A. 如果// ()lim ()fxgx 不存在時，并不能斷定 ()lim ()fxgx 也不存在，只是這是不能用洛必達法則，而須用其他方法討論 ()lim ()fxgx 。 例 （ 1）0c o s 0lim ( )0xxexx?? 型 （ 2） lnlim ( )xxx???? 型 （ 3）0lim ln ( 0 )x xx?? ? 型 （ 4）2lim s e c ta n ( )x xx?? ? ? ? ? 型 解：（ 1
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