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正文內(nèi)容

自考畢業(yè)論文-淺談求極限的若干方法(編輯修改稿)

2024-07-10 12:39 本頁面
 

【文章內(nèi)容簡介】 31112li m1 22xxxx??????? 注:本題為“約去無窮大因子” 二、利用數(shù)列相關性質(zhì)求極限: 、兩邊價準則: 若一正整數(shù) N,當 nN 時,有 nx ? ny ? nz 且 lim lim ,nnxxx z a?? ????則有 lim nx ya?? ? 利用兩邊夾準則求極限關鍵在于從 nx 的表達式中,通常通過放大或縮小的方法找出兩個有相同極限值的數(shù)列 ??ny 和 ??nz ,使得 n n ny x z?? 。 例: 2 2 21 1 1.......12nx n n n n? ? ?? ? ? 求 nx 的極限。 解 : 2 2 2 21 1 1.......n nx n n n n n n n n? ? ? ? ?? ? ? ? 2 2 2 21 1 1.......1 1 1 1n nx n n n n? ? ? ? ?? ? ? ? 則 221nnnxn n n???? 又 22lim lim 11xxnnn n n? ? ? ????? 所以: lim 1nx x?? ? 、單調(diào)有界準則:單調(diào)有界數(shù)列必收斂,且極限唯一 例: 2 , 2 2 ,? ?? , 2 2 .. .. .. 2? ? ? 解:設 2 2 ...... 2na ? ? ? ? 2 2 ...... 2na ? ? ? ?,則易知數(shù)列 { na }是遞增的,現(xiàn)在用數(shù)學歸納法證明數(shù)列 {na }有上界, 假設 2n?a 則有 1 2 2 2 2nna ? ? ? ? ? ?a ,從而對一切 n 以后 2n?a ,即數(shù)列 {na }有上界。 有單調(diào)性知道,數(shù)列 {na }有極限,記為 a ,由于 21,2nnaa? ?? 兩邊取極限可得: 1)( 2) 0aa? ? ?( ,解得: 1a?? 或 2a? ,由數(shù)列保不等式性知 a 只能 取 2。 故有 lim 2 2 .. .. .. 2 = 2x ?? ? ? ?。 、利用無窮小量的性質(zhì)求極限: 無窮小量的性質(zhì):無窮小量與有界變量的 乘積 還是無窮小量。如果0lim ( ) 0xxfx? ? ,g(x)在某區(qū)間 內(nèi) 有界,那么 0lim ( ) ( ) 0xx f x g x? ??.這種方法可以處理一個函數(shù)不存在但有界,和另一個函數(shù)的極限是零的極限的乘積的問題。 例:求 1lim sinx xx?? 解: 因為 sin 1x ? 1lim 0x x?? ? 所以,原式= 0 、利用極限的四則運算求極限 利用極限的四則運算性質(zhì): 1:兩收斂數(shù)列的和或積或差也收斂且和或積或差的極限等于極限和的或差。 2:兩收斂數(shù)列且作除數(shù)的數(shù)列的極限不為零,則商的極限等于極限的商。 總結(jié):通常在這一類型的題中,一般都含有未定式不能直接進行極限的四則運算。首先對函數(shù)施行各種恒等變形。(例如分之,分母分解因式,約去趨于零但不等于零的因式;分之,分母有理化消除未定式;通分化簡;化無窮多項的和(或積)為有限項。) 例;求極限 (1)、 221 1lim 21x xxx? ??? (2)、 3 12lim 3x xx? ??? 1)解:221 1 11 ( 1 ) ( 1 ) 1 2l im l im l im2 1 ( 2 1 ) ( 2 1 ) 2 1 3x x xx x x xx x x x x? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? 2)解: 331 2 ( 1 2 ) ( 1 2 ) 1l im l im34( 3 ) ( 1 2 )xxx x xx xx??? ? ? ? ? ???? ? ? ? 、 利用兩個重要極限公式求極限 在這一類型題中,一般也不能直接運用公式,需要恒等變形進行化簡后才可以利用公式。 (1) 0 s in 1lim lim s in 1xxx xxx? ? ??? (2) 101l im (1 ) l im (1 )x xxx xex? ? ?? ? ? ? 例:求下列函數(shù)的極限 (1) 1lim sinx x x?? (2) 22lim (1 ) mmnm?? ? 解: ( 1) 令 1t x? 則 ,原式 =0si nlim 1ttt? ? ( 2) 2222 ()0l im ( 1 ) l im ( 1 ) 1mn mnmxxnn emm ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? 三:洛必達法則求極限: 洛必達法則只能對 00 或 ?? 型才可直接使用,其他待定型必須先化成這兩種類型之一,然后再應用洛必達法則。洛必達法則只說明當 // ()lim ()fxgx 等于 A 時,那么 ()lim ()fxgx 也存在且等于 A. 如果// ()lim ()fxgx 不存在時,并不能斷定 ()lim ()fxgx 也不存在,只是這是不能用洛必達法則,而須用其他方法討論 ()lim ()fxgx 。 例 ( 1)0c o s 0lim ( )0xxexx?? 型 ( 2) lnlim ( )xxx???? 型 ( 3)0lim ln ( 0 )x xx?? ? 型 ( 4)2lim s e c ta n ( )x xx?? ? ? ? ? 型 解:( 1
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