求極限的幾種方法__相關(guān)論(編輯修改稿)
2025-02-02 12:21 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 x0的某領(lǐng)域內(nèi)有定義，若 → 0f（ x）=f（ x0） [含具體點時運用該公式 ] 十 .連續(xù)性求極限 定理： 一切連續(xù)函數(shù)在其定義去間內(nèi)的點處都連續(xù)，即如果 0x 是函數(shù) )(xf 的定義去間內(nèi)的一點，則有 )()(lim00 xfxfxx ?? 例 1：求極限 xx ex122lim? 解：因為 20?x 是函數(shù) xexxf 12)( ? 的一個連續(xù)點， 所以原式 = ee 42 212 ? .極限存在準則 定理 7（準則 1）單調(diào)有界數(shù)列必有極限。 定理 8（準則 2）已知 }{,}{,}{ nnn zyx 為三個數(shù)列，且滿足： （ 1） ),3,2,1(, ???? nzxy nnn （ 2） ayn n ???lim， azn n ???lim 則極限??n nxlim一定存在，且極限值也是 a，即 axn n ???lim 例 2：已知 ),2,1(,2,2 11 ????? ? nxxx nn ，求nn x??lim 解：易證：數(shù)列 }{nx 單調(diào)遞增，且有界（ 0 nx 2），由準則 1極限nn x??lim存在，設(shè) axnn ???lim。對已知的遞推公式 nn xx ??? 21 兩邊求極限，得： aa ?? 2 ，解得： 2?a 或 1??a （不合題意，舍去） 所以 2lim ??? nn x。 例 3：求極限 )12111(lim 222 nnnnn ???????? ? 解：易見：112111 22222 ?????????? n nnnnnnn n ? 因為 1lim2 ???? nnnn， 11lim 2 ???? nnn 所以由準則 2得： 1)12111(lim 222 ????????? nnnnn ? 用等價無窮小量代換求極限 注： : 當(dāng) x → ?? 時 ， x ~s n??,??~tan??,??~??????s n??,??~??????tan??,??~ n(1 +??),??~???? ? 1,1cos??~12??178。， (1 + ????)?? ? 1~??????； 例 1： 求極限)arctan( )31ln(lim 20 xxxx ?? 解： )31ln (0 xx ?? 時，? ～ x3 ， )arctan( 2x ～ 2x ， ? 原式 = 33lim20 ??? x xxx。 例 2： 求極限 xx ee xxx sinlimsin0 ??? 解：原式 = 1s in )s in(lims in )1(lim s in0s ins in0 ????? ???? xxxxexx ee xxxxxx； 例 3：求極限 ????????→?? .xl (1 ??)1 cos?? / 解 : ??→ (1 ??)1 cos?? /= ??→0(????12??178。)=2 例 4：求極限 ????????→?? . ???????????????? ??/ 解： ????????→?? . ???????????????? ??/ = ???? 注：通常在乘除時候使用，但是不是說一定在加減時候不能用，但是前提是必須證明拆分后極限依然存在。 微分中值定理 一、 羅爾定理 1
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